Algebra

Gruppe

集合 \(G\) , 和一种运算 \(G \times G \rightarrow G,(\sigma, \tau) \mapsto \sigma \cdot \tau\)

  • AG 结合律 \(\forall \sigma, \tau, \rho \in G: \quad(\sigma \cdot \tau) \cdot \rho=\sigma \cdot(\tau \cdot \rho)\)
  • NE 左单位元 \(\exists \iota \in G: \quad \forall \sigma \in G: \quad \iota \cdot \sigma=\sigma\),
  • IE 左逆元 \(\forall \sigma \in G: \quad \exists \sigma^{\prime} \in G: \quad \sigma^{\prime} \cdot \sigma=\iota\)

abelsch (commutative)

KG 交换律 \(\forall \sigma, \tau \in G: \quad \sigma \cdot \tau=\tau \cdot \sigma\).

Ordnung

元素个数 \(|G| \in \mathbb{N} \cup\{\infty\}\)

其他派生

  • Halbgruppe: 只满足AG

  • Monoid: 满足 AG 和 NE’ (无逆元性质)

    NE’ 左右单位: \(\exists \iota \in G: \quad \forall \sigma \in G: \quad \iota \cdot \sigma=\sigma \cdot \iota=\sigma\).

在无逆元性质下,需要特别提出 NE’,否则NE’可以证明

定理 1.2 Gruppe 基本性质

  • 只有一个 \(\iota \in G\) 这个叫做neutrale Element
  • 只有一个左逆元 inverse Element
  • (右乘也满足)对于所有 \(\sigma \in G\) 满足 \(\sigma \iota=\sigma \quad\) und \(\quad \sigma \sigma^{-1}=\iota\).

Gruppe 计算规则

  • 逆元的逆元是自己 \(\forall \sigma \in G: \quad\left(\sigma^{-1}\right)^{-1}=\sigma\)
  • 乘积的逆元 \(\forall \sigma, \tau \in G: \quad(\sigma \tau)^{-1}=\tau^{-1} \sigma^{-1}\)

\(n \in \mathbb{N}_{>0}: \sigma^n=\underbrace{\sigma \cdots \sigma}_{n \ \mathrm{mal}}, \sigma^0=\iota\) und \(\sigma^{-n}=\left(\sigma^n\right)^{-1}\)

Abelsch Gruppe 我们用加法表示

symmetrische Gruppe

\(n \in \mathbb{N}_0\) 是一个自然数,\(\Omega:=\{1, \ldots, n\}\) 下面的定义(所有双射)是 symmetrische Gruppe \[ S_n:=\{\sigma: \Omega \rightarrow \Omega \mid \sigma \text { ist bijektiv }\} \] Ordnung \(\left|S_n\right|=n!\)

Untergruppe

Gruppe 的子集, 且也是个 Gruppe, \(H \subseteq G\) , \(\iota \in H\) , \(\forall \sigma, \tau \in H:\sigma \tau \in H, \sigma^{-1}\in H\)

alternierende Gruppe

\(n \in \mathbb{N}_0\) , 下面是alternierende Gruppe \[ A_n:=\left\{\sigma \in S_n \mid \operatorname{sgn}(\sigma)=1\right\} \subseteq S_n \]

Proposition 1.6 Untergruppe的交集

\(G\) 是 Gruppe, \(\mathcal{U} \subseteq \mathfrak{P}(G)\)\(G\) 的某些Untergruppe的集合, 那么交集也是 Gruppe \[ \bigcap_{H \in \mathcal{U}} H \subseteq Gerzeugte Untergruppe \]

定义 1.7 erzeugte Untergruppe

\(G\) 是 Gruppe, \(M \subseteq G\), \[ \langle M\rangle:=\bigcap_{\substack{H \in \mathfrak{P}(G)\\ H \text { Untergruppe, } \\ M\ \subseteq H}} H \]\(G\)\(M\) 生成的 erzeugte Untergruppe, 又叫 \(M\) 的Erzeugnis. 也是最小包含 \(M\) 的 Untergruppe

\(\langle M\rangle\) 也可以看作是由 \(M\) 中的任意个数乘积,任意逆元组成的

如果 \(M\) 是endlich, \(G=\langle M\rangle\) 那么说 \(G\) 是 endlich erzeugt

zyklische Gruppe

上面的特殊情况 \(M=\{\sigma\}\) 那么 \[ \langle M\rangle=\langle\sigma\rangle=\left\{\sigma^i \mid i \in \mathbb{Z}\right\} \] 是 zyklische Gruppe

Ordnung

\(\sigma \in G\) 我们定义它的 Ordnung \[ \operatorname{ord}(\sigma):=|\langle\sigma\rangle| \in \mathbb{N} \cup\{\infty\} \]

Proposition 1.9

\(\sigma \in G\) 那么满足 \[ \operatorname{ord}(\sigma)=\min \left\{k \in \mathbb{N}_{>0} \mid \sigma^k=\iota\right\} \]\(m:=\operatorname{ord}(\sigma)<\infty\) 那么 \(i, j, k \in \mathbb{Z}\) \[ \sigma^k=\iota \Longleftrightarrow m \mid k \quad \text { und } \quad \sigma^i=\sigma^j \Longleftrightarrow i \equiv j \bmod m \] 特别地 \[ \langle\sigma\rangle=\left\{\iota, \sigma, \sigma^2, \ldots, \sigma^{m-1}\right\} \]

Lemma 1.10 (Zerlegung in Nebenklassen)

\(H \subseteq G\) , 对于 \(\sigma, \tau \in G\) 我们写作 \(\sigma \sim \tau\)\(\sigma^{-1} \tau \in H\)

  • wird eine Äquivalenzrelation auf \(G\) definiert
  • 对于 \(\sigma \in G\)

\[ [\sigma]_{\sim}=\sigma H:=\{\sigma \rho \mid \rho \in H\} \]

  • 对每个 \(\sigma \in G\) 满足

\[ |\sigma H|=|H| \text {. } \]

其中 \(\sigma H\)\(H\) 的 Linksnebenklasse

定义 1.11 Index

\(H \subseteq G\) 是 Untergruppe, 那么 \[ (G: H):=|\{\sigma H \mid \sigma \in G\}| \in \mathbb{N} \cup\{\infty\} \]\(H\)\(G\) 中的Index 也就是这样的集合由多少个

同时可以推出 \[ |G|=|H| \cdot(G: H) \]

定理 1.12 Satz von Lagrange

\(G\) 是一个endliche Gruppe, \(H\) 是一个 Untergruppe, 那么 \(|H|\)\(|G|\) 的因子

Korollar 1.13 kleiner Satz von Fermat

对于 \(\sigma \in G\) , \(G\) endlich \[ \sigma^{|G|}=\iota \]

Korollar 1.14

\(G\) 是 Gruppe, 且 \(|G|\) 是质数,那么 \(G\) 是 zyklisch

Normalteiler und Homomorphismen

konjugiert

\(\sigma, \tau \in G\)konjugiert 若存在 \(\rho \in G\) 使得 \[ \tau=\rho \sigma \rho^{-1} \] 对于 \(\sigma\) \[ [\sigma]:=\left\{\rho \sigma \rho^{-1} \mid \rho \in G\right\} \subseteq G \]Konjugiertenklasse

对于两个 Untergruppe \(H_1, H_2 \subseteq G\) , 定义 konjugiert \[ H_2=\rho H_1 \rho^{-1}:=\left\{\rho \sigma \rho^{-1} \mid \sigma \in H_1\right\} . \] Untergruppe \(N \subseteq G\)\(G\)Normalteiler 若对于所有 \(\rho\in G\) 满足 \(\rho N \rho^{-1}=N\) 也可以用 \(N \unlhd G\) 表示

\(G\)einfach\(G \neq\{\iota\}\) 且只有 \(\{\iota\}\)\(G\) 是 Normalteiler

定理 2.3 Faktorgruppe

\(N \unlhd G\) , 那么 \(N\) 的 Links-Nebenklasse 的集合是 Gruppe, \(\sigma, \tau \in G\) \[ (\sigma N) \cdot(\tau N):=\sigma \tau N \] 这个 Gruppe 是 \(G\) 关于 (modulo) \(N\) 的 Faktorgruppe, 或者写作 \(G / N\)

证明: Wohldefiniertheit des Produkts: 要证明这两个 Nebenklasse 里其他的元素 \(\sigma^{\prime}, \tau^{\prime}\) 乘出来也是一样的

定义 2.5 Zentrum

\(G\) 是 Gruppe \[ Z(G):=\{\sigma \in G \mid \forall \tau \in G: \sigma \tau=\tau \sigma\} \]\(G\) 的 Zentrum, 也就是支持交换律的元素

\(\sigma, \tau \in G\) , 定义 \[ [\sigma, \tau]:=\sigma \tau \sigma^{-1} \tau^{-1} \]\(\sigma, \tau\)Kommutator , 当且仅当 \([\sigma, \tau]=\iota\)\(\sigma \tau=\tau \sigma\) \[ G^{\prime}:=\langle[\sigma, \tau] \mid \sigma, \tau \in G\rangle \]\(G\) 的 Kommutatorgruppe

Proposition 2.6 Eigenschaften von \(Z(G)\) und \(G^{\prime}\)

  • \(Z(G) \unlhd G\)
  • \(G^{\prime} \unlhd G\)
  • 对于每个 Untergruppe \(H \subseteq G\) 满足下面等价关系

\[ H \unlhd G \quad \text { und } \quad G / H \text { ist abelsch } \quad \Longleftrightarrow \quad G^{\prime} \subseteq H . \]

Proposition 2.8 (Untergruppen einer Faktorgruppe)

\(N \unlhd G\) , 考虑 \[ \mathcal{A}:=\{H \subseteq G \mid H \text { Untergruppe und } N \subseteq H\} \]\[ \mathcal{B}:=\{\mathfrak{H} \subseteq G / N \mid \mathfrak{H} \text { Untergruppe }\} \] 所以 \(\Phi: \mathcal{A} \rightarrow \mathcal{B}, H \mapsto H / N\) 是一个 Bijektion , 并且满足

  • \(\forall H_1, H_2 \in \mathcal{A}: H_1 \subseteq H_2 \quad \Longleftrightarrow \quad \Phi\left(H_1\right) \subseteq \Phi\left(H_2\right)\)
  • \(\forall H_1, H_2 \in \mathcal{A}: H_1 \unlhd H_2 \quad \Longleftrightarrow \quad \Phi\left(H_1\right) \unlhd \Phi\left(H_2\right)\).

定义 2.9 Homomorphismus

\(G, H\) 是 Gruppe, Abbildung \(\varphi: G \rightarrow H\) 是 Homomorphismus 若对于所有 \(\sigma, \tau \in G\) \[ \varphi(\sigma \tau)=\varphi(\sigma) \varphi(\tau) \] 其中 \[ \operatorname{Kern}(\varphi):=\left\{\sigma \in G \mid \varphi(\sigma)=\iota_H\right\} \]\(\varphi: G \rightarrow H\) 的 Kern

Isomorphismus 是 Bijektive 的 Homomorphismus, \(G \cong H\) 代表 \(G,H\) isomorph

对于 \(G \rightarrow G\) 的 Isomorphismus 我们称作 Automorphismus \[ \operatorname{Aut}(G):=\{\varphi: G \rightarrow G \mid \varphi \text { ist ein Automorphismus }\} \]\(G\) 的 Automorphismengruppe , 运算是 Hintereinanderausfuhrung

Proposition 2.11 (Kern und Injektivität)

Homomorphismus \(\varphi: G \rightarrow H\) 是 injektiv 的,当且仅当 \(\operatorname{Kern}(\varphi) \subseteq\left\{\iota_G\right\}\) ( 推论 \(\operatorname{Kern}(\varphi)=\left\{\iota_G\right\}\))

定理 2.12 Kern und Bild 的性质

  • \(\varphi: G \rightarrow H\) 是 Homomorphismus 那么 \(\operatorname{Kern}(\varphi) \unlhd G\)
  • \(\varphi: G \rightarrow H\) 是 Homomorphismus 那么 \(\operatorname{Bild}(\varphi) \subseteq H\)\(H\) 的 Untergruppe
  • \(N \unlhd G\) 那么 \(\varphi: G \rightarrow G / N, \sigma \mapsto \sigma N\) 是 Homomorphismus 且 \(\operatorname{Kern}(\varphi)=N\)