线性代数 | Hexo

矩阵

$K$ 永远是个物体(Körper) ，比如$K= R , C , Q , F _{2} \ldots$

定义1.1 矩阵的定义

$m,n \in N_{>0}$ , 一个$m*n$的矩阵式一个矩形的序列 \[ A=\left(\begin{array}{cccc} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1, n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2, n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m, 1} & a_{m, 2} & \cdots & a_{m, n} \end{array}\right) \] 其中 $a_{i, j} \in K$ 。根据定义我们知道，若两个矩阵相等，当且仅当它里面所有元素都相等。矩阵还有其他写法： \[ A=\left(a_{i, j}\right)_{i=1, \ldots, m\atop j=1,\dots,n}=\left(a_{i, j}\right)_{1 \leq i \leq m \atop 1 \leq j \leq n}=\left(a_{i, j}\right)_{i, j}=\left(a_{i, j}\right) \] 如果m，n明确的话我们会用后两种。

$m \times n-$矩阵的集合我们记为 $K^{m \times n}$

$1 \times n-$矩阵$\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \in K^{1 \times n}$是行向量(Zeilenvektor), $m \times 1-$矩阵$\left(\begin{array}{c}a_{1} \\ \vdots \\ a_{m}\end{array}\right) \in K^{m \times 1}$ 是列向量(Spaltenvektor). 我们记 $K^{m}:=K^{m \times 1}$ 是标准m维空间(m-dimensionalen Standardraum)。

对于矩阵 $A=\left(a_{i, j}\right) \in K^{m \times n}$ ， $i \in\{1, \ldots, m\}$ 中 $\left(a_{i, 1}, \ldots, a_{i, n}\right) \in K^{1 \times n}$是$A$的第$i$行;

$j \in\{1, \ldots, n\}$ 则 $\left(\begin{array}{c}a_{1, j} \\ \vdots \\ a_{m, j}\end{array}\right) \in K^{m \times 1}$ 是第$j$列

若矩阵 $A \in K^{m \times n}$ 满足 $m=n$ 那么它是正方形的(quadratisch). 对于 $A=\left(a_{i, j}\right) \in K^{m \times n}$ ，

$A^{T}:=\left(a_{j, i}\right) \in K^{n \times m}$ 是转置矩阵(transponierte Matrix)，也就是： \[ \left(\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array}\right)^{T}=\left(\begin{array}{ll} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array}\right) \] 一个正方形的矩阵是对称的(symmetrisch)，若满足 $A^{T} = A$.

定义1.3 矩阵的和与积

对于 $A=\left(a_{i, j}\right) \in K^{m \times n}$ 和 $B=\left(b_{i, j}\right) \in K^{m \times n}$ ，$A + B \in K^{m \times n}$ 定义为 $A + B=\left(c_{i, j}\right) , c_{i, j}:=a_{i, j}+b_{i, j}$

它满足结合律和交换律： \[ (A+B)+C=A+(B+C) \quad \\ \quad A+B=B+A \] 对于零矩阵 $0 :=\left(\begin{array}{cc}0 & \cdots & 0 \\ \vdots & & \vdots \\ 0 & \cdots & 0\end{array}\right) \in K^{m \times n}$, 满足 $A+0=A$.

对于 $A=\left(a_{i, j}\right) \in K^{m \times n}$ 和 $B=\left(b_{i, j}\right) \in K^{n \times l}$，积是：$A \cdot B \in K^{m \times n }$ \[ c_{i, j}:=\sum_{k=1}^{n} a_{i, k} b_{k, j} \] 特别地，对于矩阵 $A=\left(a_{i, j}\right) \in K^{m \times n}$ 和列向量 $v=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right) \in K^{n}$ 的积： \[ A \cdot v=\left(\begin{array}{c} y_{1} \\ \vdots \\ y_{m} \end{array}\right) \in K^{m} \quad \text { mit } \quad y_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{i, j} x_{j} \] 对于$A=\left(a_{i, j}\right) \in K^{m \times n}$ 与标量 $s \in K$相乘的积可以定义为：$s \cdot A =\left(c_{i, j}\right) \in K^{m \times n}$ 且 $c_{i, j}:=s \cdot a_{i, j}$

对于两个向量 $v=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right), w=\left(\begin{array}{c}y_{1} \\ \vdots \\ y_{n}\end{array}\right) \in K^{n}$ 相乘，我们需要对其中一个转置 $v^{T}$ 是 $K^{1 \times n}$ \[ v^{T} \cdot w=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i} \]

定理1.6 矩阵的运算规则

$\left(K^{m \times n},+\right)$ 是一个 abelsche Gruppe
对于
所有 $A, B \in K^{m \times n}$ 且 $s, s^{\prime} \in K$： \[ \begin{aligned} &s \cdot(A+B)=s \cdot A+s \cdot B\\ &\left(s+s^{\prime}\right) \cdot A=s \cdot A+s^{\prime} \cdot A\\ &s \cdot\left(s^{\prime} \cdot A\right)=\left(s s^{\prime}\right) \cdot A\\ &1 \cdot A=A \end{aligned} \]
若 $A, B, C$ 是矩阵 \[ \begin{aligned} &(A \cdot B) \cdot C=A \cdot(B \cdot C)\\ &A \cdot(B+C)=A \cdot B+A \cdot C\\ &(A+B) \cdot C=A \cdot C+B \cdot C \end{aligned} \]

对于单位矩阵$I_{n}:=\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & & & \vdots \\ & & \ddots & & \\ \vdots & & & 1 & 0 \\ 0 & \cdots & & 0 & 1\end{array}\right) \in K^{n \times n}$ 有：$I_{n} \cdot A=A$ 且 $B \cdot I_{n}=B$

线性方程组

对于方程组 \[ \begin{array}{rr} x_{1}+2 x_{3}+x_{4}= & -3 \\ 2 x_{1}+4 x_{3}-2 x_{4}= & 2 \\ x_{2}-x_{4}= & 2 \\ x_{1}+2 x_{3}+2 x_{4}= & -5 \end{array} \] 我们可以用矩阵来表示： \[ A \cdot\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ 2 \\ -5 \end{array}\right) \quad \operatorname{且} \quad A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 4 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & 2 \end{array}\right) \]

定义2.1 线性方程组LGS

形如 $A x=b $ 且 $ A K^{m n}, b K^{m}$ 是线性方程组(lineares Gleichungssystem). 解集是 $x \in K^{n}$ .

若 $b=\left(\begin{array}{c}0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right)$ ，那么它是homogen的，否则就 inhomogen. $A$ 称作系数矩阵(Koeffzientenmatrix) . 矩阵 $(A | b) \in K^{m \times(n+1)}$ 是扩展系数矩阵(erweiterte Koeffizientenmatrix).

为了解方程，我们定义3种操作：

Typ I: 交换两行
Typ II: 再一行乘上系数 $s \in K \backslash\{0\}$
Typ III: 将一行的 $s$ 倍加上另一行

定义2.2

若 $A \in K^{m \times n}$ 是in Zeilenstufenform 里，若满足：

如果一行由 $k$ 个 $0$ 开始，那么它的下一行还是 $0$
在第一个不为 $0$ 的值的下面都有 $0$ （若它不全为 0）

我们说 $A$ 是 in strenger Zeilenstufenform，若还满足

在第一个不为 $0$ 的值上面都有 $0$ (若它不全为0)

算法2.5 高斯消元

输入：一个矩阵 $A \in K^{m \times n}$

输出：一个矩阵 $B \in K^{m \times n}$ 是 $A$ 的 strenger Zeilenstufenform

令 $B:= A$
$B$ 若是到第 $r$ 行是 in Zeilenstufenform.
若 $r=m$ 那么 $B$ 就是 in Zeilenstufenform. 若想要严格的，那么到第 8 步
找到最左边的不为 $0$ 的 $B$ 下面的行
把这一行放到第 $r+1$ 行
生成 $0$ .（用 III, II 操作）
到第 2 步
把 $B$ 变换到严格的 Zeilenstufenform (操作 III)

书上是真的不讲人话！！

从第$i=1$行开始，找到下面最左边第$i$列有值的，交换提到第$i$行.然后用它把下面全消元成0

然后倒着往回消元。（变成 streng）

算法2.7 解LGS

输入：一个LGS $A \cdot x=b \operatorname{,} A \in K^{m \times n}$ 且$b \in K^{m}$. 也就是m个方程n个未知数

输出：解集 $L$

把扩展系数矩阵 $(A | b) \in K^{m \times(n+1)}$ 变换到 strenge Zeilenstufenform.
若 $r$ 是至少1列不为0的行数，对于 $i=1, \ldots, r$ 若 $j_{i} \in\{1, \ldots, n+1\}$ 第i行第1个不为0的列数
若 $j_{r}=n+1$ , 那么方程无解， $L=\emptyset$
否则 $k_{1}, \ldots, k_{n-r}$ 是在 $\{1,...,n\}$ 而不是 $j_{i}$的数,也就是说 $\{1, \ldots, n\} \backslash\left\{j_{1}, \ldots, j_{r}\right\}=\left\{k_{1}, \ldots, k_{n-r}\right\}$ ，也就是 J 在n中缺少的列数
解集是：

\[ \begin{aligned} L=\left\{\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array}\right) | x_{k_{1}, \ldots, x_{k_{n-r}}} \in K\text { 中任意的, } \right. \left.x_{j_{i}}=a_{i, j_{i}}^{-1} \cdot\left(b_{i}-\sum_{j=1}^{n-r} a_{i, k_{j}} \cdot x_{k_{j}}\right) \text { 对于 } i=1, \ldots, r\right\} \end{aligned} \]

特殊情况

无解：$L=\emptyset \Leftrightarrow j_{r}=n+1$
唯一解: $|L|=1 \Leftrightarrow r=n$ 且 $j_{r}=n$，也就是最后的矩阵长这样： \[ \left(\begin{array}{ccccc|c} a_{1,1} & 0 & & \cdots & 0 & b_{1} \\ 0 & a_{2,2} & & & \vdots & \vdots \\ & & \ddots & & \vdots & \vdots \\ \vdots & & & a_{n-1, n-1} & 0 & b_{n-1} \\ 0 & \cdots & & 0 & a_{n, n} & b_{n} \\ 0 & \cdots & & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & & & & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & & \cdots &0 & 0 \end{array}\right) \] 解集：$\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}b_{1} / a_{1,1} \\ \vdots \\ b_{n} / a_{n, n}\end{array}\right)$
不唯一解：$|L|>1 \Leftrightarrow r<n$ 且 $j_{r} \neq n+1$，那么就会有 $n-r$ 个参数。若 $|L|=\infty$ , 若$K$ 有无穷多个元素

定义2.8 秩

若 $A \in K^{m \times n},$并且 $A^{\prime} \in K^{m \times n}$ 是$A$ 变换成 in Zeilenstufenform的矩阵，那么 $A$ 的秩是 $r$ .也就是$r=: \operatorname{rg}(A)$.

若一个方形矩阵 $A \in K^{n \times n}$ 是正规regulär的, 若 $rg(A)=n$

求矩阵的秩

先变换成Zeilenstufenform，然后数有几行不全为0

公式 2.9

一个 LGS $A \cdot x=b$ 有解，当且仅当系数矩阵 $A$ 和扩展系数矩阵 $(A|b)$ 有相同的 Rang.

复数(Komplexe Zahlen)

用矩阵表示复数： \[ C :=\left\{\left(\begin{array}{cc} a & b \\ -b &a \end{array}\right) | a, b \in R \right\}=\left\{a \cdot I_{2}+b \cdot i | a, b \in R \right\} \quad \text { mit } \quad i:=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right) \] 它满足交换律 \[ z_{1} z_{2}=z_{2} z_{1} \] 我们还能定义逆元 \[ z^{-1}:=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}\left(\begin{array}{cc} a&-b \\ b & a \end{array}\right)=\frac{a}{a^{2}+b^{2}} I_{2}-\frac{b}{a^{2}+b^{2}} i \in C \] 这个方程满足 $z^{-1} z=I_{2}$. 于是引出我们一般的定义： \[ C =\{a+b i | a, b \in R \} , i^{2}=-1 \] 并且 \[ \left(a_{1}+b_{1} i\right) \cdot\left(a_{2}+b_{2} i\right)=\left(a_{1} a_{2}-b_{1} b_{2}\right)+\left(a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}\right) i \\ (a+b i)^{-1}=\frac{a-b i}{a^{2}+b^{2}} \quad(\text { für } \quad a+b i \neq 0) \] 于是 $C$ 中的元素称为复数(komplexe Zahl). 对于 $z=a+bi$ ,$a$ 是实部(Realteil)，$b$ 是虚部(Imaginärteil) \[ a=: \operatorname{Re}(z), \quad b=: \operatorname{Im}(z) \] 对于每个复数 $z=a+bi$ ，有对偶的 komplex konjugierte \[ \bar{z}:=a-b i \] 由于它本质是矩阵运算，所以有 \[ \overline{z_{1}+z_{2}}=\overline{z_{1}}+\overline{z_{2}} \quad \text { und } \quad \overline{z_{1} \cdot z_{2}}=\overline{z_{1}} \cdot \overline{z_{2}} \] 它的模(Betrag)是 \[ z \cdot \bar{z}=a^{2}+b^{2} \in R _{\geq 0} \\ |z|:=\sqrt{z \cdot \bar{z}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \in R _{\geq 0} \]

向量空间

定义 4.1 K-向量空间

一个 $K$-向量空间(Vektorraum) 是集合 $V$ ,它有2个映射 $\boxplus:V\times V \rightarrow V, (v,w) \mapsto v \boxplus w$ 和 $\boxdot:K\times V \rightarrow V, (a,v) \mapsto a \boxdot v$ 使得下面的式子成立

$V$ 是对于 $\boxplus$ 的一个 abelsche Gruppe
对于所有的 $a \in K$ 和 $ v,w V$ 有： \[ a \boxdot(v \boxplus w)=a \boxdot v \boxplus a \boxdot w \]
对于所有的 $a,b \in K$ 和 $ v V$ 有：

\[ (a+b) \boxdot v = a \boxdot v \boxplus b \boxdot v \]

对于所有的 $a \in K$ 和 $ v,w V$ 有： \[ (a \boxdot b)\boxdot v=a \boxdot(b \boxdot v) \]
对于所有的 $ v V$ 有： \[ 1 \boxdot v = v \]

向量空间的元素叫向量(Vektoren).

命题 4.3 向量空间性质

若 $V$ 是个 $K$-Vektorraum 且 $a \in K, v \in V$ 那么有

$a \cdot 0=0$ , $0 \cdot v = 0$
$(-a)\cdot v=a\cdot (-v)=-(a\cdot v)$
从 $a \cdot v=0$ 知，$a=0$ 或者 $v=0$

定义4.4 子空间

若 $V$ 是个 $K$-Vektorraum，一个子集 $U \subseteq V$ 是子空间(Unterraum)，若满足：

$0 \in U$
若 $v, w \in U$, 那么 $v+w \in U$
若 $a \in K$ 且 $v \in U$, 那么 $a \cdot v \in U$

命题 4.6 子空间性质

若 $V$ 是一个 $K$-Vektorraum 且 $U_{1}, U_{2} \subseteq V$ 是子空间,那么有

$U_{1} U_{2} V $ 是子空间
$U_{1} + U_{2}:=\{v+w|v \in U_{1}, w \in U_{2}\} \subseteq V$ 是子空间,这个也叫和空间(Summenraum)
若 $\mathcal{M} \neq \emptyset$ 是其中元素是$V$ 的子空间的非空集合 \[ \bigcap_{U \in \mathcal{M} } U \subseteq V \] 也是子空间

判断子空间

Jede Gerade durch den Nullpunkt ist ein Unter20 raum.
集合可以表示成一个生产子空间的形式
不满足这三条性质的可以举出反例

证明一个集合是另一个的子空间

证明子空间的3条性质.

定义 4.7 生成子空间

若 $V$ 是一个 $K$-Vektorraum, $S \subseteq V$ 是子集，集合 $\mathcal{M}:=\{U\subseteq V | U 是子空间, S \subseteq U\}$ , 那么我们构造 \[ \langle S\rangle:=\bigcap_{U \in \mathcal{M} } U \] $\langle S \rangle$ 是$V$ 的生成子空间(erzeugte Unterraum)

公式 4.9 计算生产子空间

若 $V$ 是一个 $K$-Vektorraum, $U_{1}, U_{2}$ 是子空间且 $S := U_{1} \cup U_{2}$, 那么有 \[ \langle S\rangle=U_{1}+U_{2} \]

判断两个生成子空间是否相等

可以举个反例，一个中的元素不在另一个里面来证伪
取线性组合来扩展$S$ , 使得它和另一个相等

求生成空间的交集

把一个表示出来，带入另一个方程里.
2个表示出来解方程组

判断一个元素是否属于一个生产空间

看是否能用线性组合表示它

线性组合

定义 5.1 线性组合

若 $v_{1}, \ldots, v_{n} \in V$ 是向量, 一个向量 $v \in V$ 是$v_{1}, \ldots, v_{n}$的线性组合(Linearkombination)，若对于标量 $a_{1}, \ldots, a_{n} \in K$ 满足 \[ v=a_{1} v_{1}+\cdots+a_{n} v_{n} \]
若 $S \subseteq V$ 是子集，一个向量 $v \in V$ 叫 $S$ 的线性组合，若存在 $n \in \mathbb{N}$ 且 $v_{1}, \ldots, v_{n} \in S$ ,使得 $v$ 是 $v_{1}, , v_{n} $ 的线性组合。若 $S=\emptyset$ ,那么零向量 $0$ 是$S$ 的唯一线性组合.

公式 5.2 线性组合和生成子空间

对于一个子集 $S \subseteq V$ ,生成子空间 $S $ 是 $S$ 的所有线性组合的集合 \[ \langle S\rangle=\{v \in V | v \text { ist Linearkombination von } S\} \] 特别地: \[ \left\langle v_{1}, \ldots, v_{n}\right\rangle=\left\{\sum_{i=1}^{n} a_{i} v_{i} | a_{1}, \ldots, a_{n} \in K\right\} \]

命题 5.4 子空间和矩阵

若 $A, A^{\prime} \in K^{m \times n}$ ,其中 $A'$ 是 $A$ 通过基本行变换得来的矩阵. 那么 $A$ 的行和 $A'$ 的行生成相同的$K^{1\times n}$子空间 .

定义 5.5 线性无关

向量 $v_{1}, \ldots, v_{n} \in V$ 是线性无关(linear unabhängig), 若对于所有 $a_{1}, \dots, a_{n}$,下列充分关系成立 \[ a_{1} v_{1}+\cdots+a_{n} v_{n}=0 \Rightarrow a_{1}=0, a_{2}=0, \ldots, a_{n}=0 \]
一个子集 $S \subseteq V$ 是线性无关，若对于所有 $n \in \mathbb{N}$ 且 $v_{1}, \ldots, v_{n} \in S$ ,使得 $v_{1}, , v_{n} $ 线性无关. 否则 $S$ 是线性有关的(linear abhängig). $S=\emptyset$ 是线性无关的.

判断线性组合

如果能找到一个矩阵变换，那么就是线性映射
证明线性映射的性质：$\varphi_{4}(f+\lambda g)=(f+\lambda g)\left(x^{2}\right)=f\left(x^{2}\right)+\lambda g\left(x^{2}\right)=\varphi_{4}(f)+\lambda \varphi_{4}(g)$

基

定义 6.1 生成系统和基

若 $S \subseteq V$ 是子集，

$S$ 是 $V$ 的一个生成系统(Erzeugendensystem)，若 $\langle S \rangle=V$.
$S$ 是 $V$ 的一个基(Basis), 若 $S$ 是一个$V$ 的线性无关的生成系统. 换句话说: $S$ 是基，若对于每个 $v \in V$ 可以从 $S$ 表示每个线性组合.

形如 \[ e_{i}:=\left(\begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right) \leftarrow(i \text { -te Position }) \in K^{n} \] 那么 $S=\left\{e_{1}, \ldots, e_{n}\right\}$ 是$K^{n}$ 的标准基(Standardbasis)

定理 6.3 等价命题

对于每个子集 $S \subseteq V$ 下面是等价的：

$S$ 是 $V$ 的一个基
$S$ 是 $V$ 的最大的线性无关子集。
$S$ 是 $V$ 最小的生成系统

推论 6.4

若 $V$ 有一个有限的生成系统，那么$V$ 也有一个基

定理 6.5 基定理(Basissatz)

每个向量空间有一个基

引理 6.7 子空间和生成空间

若 $E \subseteq V$ 是一个有限的生成空间且 $U \subseteq V$ 是一个线性无关集合，那么下面的式子成立： \[ |U| \leq|E| \]

推论 6.8 基相同且有限

若 $V$ 是一个有限的生成系统，那么$V$ 的所有基都是有限的，且有相同数量的元素

定义6.9 维度

若 $V$ 有一个有限的生成系统，那么 $V$ 的维度(Dimension) 就是 $V$ 的基的元素个数. 我们用 $dim(V)$ 来描述它的维度. 若它没有有限的生成系统，那么它的维度是 $dim(V):=\infty$ . 第一种情况叫有限维度的(endlich-dimensional), 第二种叫无限维度的(unendlich-dimensional).

命题 6.11 维度和LGS

若 $A \cdot x = 0$ 是一个homogenes $LGS$ ，$A \in K^{m \times n}$ 那么有 \[ dim(L) = n - rg(A) \]

命题 6.12 维度和矩阵Rang ？

一个矩阵 $A \in K^{m \times n}$ 的Rang 是行$K^{1\times n}$的子空间的维度.

推论 6.13 维度和线性有关

若 $v_{1}, \ldots, v_{n} \in V$ 是两两不同的，且 $S = \{v_{1}, \ldots, v_{n} \}$ .那么

$S$ 是 $V$ 的一个基 $\Longleftrightarrow \operatorname{dim}(V)=n$ 且 $S$ 线性无关 $ (V)=n, V = S $
若 $n < dim(V)$ , 那么 $V \neq \langle S \rangle$
若 $n > dim(V)$, 那么 $S$ 是线性有关的

推论 6.14 基扩展

若 $V$ 是有限维度的且 $S \subseteq V$ 是线性无关的，那么存在$V$ 的一个基 $B$ , $S \subseteq B$ . $B$ 称为$S$ 的一个基扩展(Basisergänzung)

推论 6.16 维度和子空间

若 $U \subseteq V$ 是一个子空间，那么：

$dim(U) \leq dim(V)$
若 $dim(U) =dim(V) < \infty$, 那么 $U = V$

求一个矩阵的homogene LGS 解集的Basis

先求出解集，然后写成向量线性组合的形式，然后提取出向量
直接读出来：把freie Parameter的一项写成1，然后把用到这个参数的加上系数即可.

求一个Unterraum的Basis

用高斯消元，消元成最小的Basis

证明线性不相干

令线性组合为0，然后证明每一个$\lambda=0$ .

可以用结论 $1, x, x^{2}, x^{3}, x^{4}$ 线性不相干，直接推出参数为0
用高斯消元，最后秩<n就是线性相关,秩=n就是不相干
$K^{m}$ 中最多有 $m$ 个向量线性不相干

找一组反例（一个是1，其他是0）的参数来证伪

证明一个基可以生成某一个集合

先证明这个基线性不相干，然后用基的线性组合表示集合中的元素

线性代码

在传输信息的过程中，我们会有极小的概率丢失某比特数据。所以我们需要找一种办法来避免。比如 $\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \in K^{k}$ 用$\left(c_{1}, \ldots, c_{n}\right) \in K^{n}$ 来代替: \[ \left(\begin{array}{c} c_{1} \\ \vdots \\ c_{n} \end{array}\right)=G \cdot\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{k} \end{array}\right) \] 这里的 $\left(c_{1}, \ldots, c_{n}\right) \in K^{n}$ 是码字(Codewort), $\left(x_{1}, \ldots, x_{k}\right) \in K^{k}$ 是信息字(Imformationswort), $G$ 是生成矩阵(Generatormatrix). 集合： \[ C:=\left\{G \cdot\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{k} \end{array}\right) |\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ \vdots \\ x_{k} \end{array}\right) \in K^{k}\right\} \] 构成了一个$K^{n}$ 的子空间.

定义 7.1 线性代码

一个线性代码(linearer Code)是一个子空间 $C \subseteq K^{n}$. 使得 $k:=dim(C)$ . 我们说 $C$ 也是 $(n,k)$-Code. $C$ 的长度(Länge)是 $n$. 信息率(Informationsrate)是 $k/n$, 盈余(Redundanz)是 $n-k$.

定义7.3 汉明重量/汉明距离

对于 $c=\left(c_{1}, \ldots, c_{n}\right) \in K^{n}$ ，定义(汉明重量)Hamming-Gewicht 为 \[ w(c):=\left|\left\{i \in\{1, \ldots, n\} | c_{i} \neq 0\right\}\right| \] 对于$c,c'$ 的汉明距离Hamming-Abstand 是 \[ d\left(c, c^{\prime}\right):=w\left(c-c^{\prime}\right)=\left|\left\{i \in\{1, \ldots, n\} | c_{i} \neq c_{i}^{\prime}\right\}\right| \] 对于 $C \subseteq K^{n}$ 的汉明距离Hamming-Abstand 是 \[ d(C):=\min \left\{d\left(c, c^{\prime}\right) | c, c^{\prime} \in C, c \neq c^{\prime}\right\} \] 若 $|C| \leq 1,$ 那么 $d(C):=n+1$.

如果 $C$ 是一个子空间

定理 7.5 错误纠正

若 $C \subseteq K^{n}$ 是一个代码Code

若 $d(C)=2 e+1$ ，那么 $C$ 是 $e$-fehlerkorrigierend(e-错误纠正)
若 $d(C)=2 e+2$, 那么 $C$ 是 $e$-fehlerkorrigierend 和 $(e+1)$-fehlererkennend.

Parity-Check-Matrix

\[ G=\left(\begin{array}{c} I_{k} \\ A \end{array}\right) \\ P:=\left(\begin{array}{cc} -A & I_{n-k} \end{array}\right) \in K^{(n-k) \times n} \]

Parity-Check-Code

他是形如这样一个生成矩阵 \[ G:=\left(\begin{array}{llll} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right) \] 它满足: $\left(x_{1}, \ldots, x_{4}\right) \mapsto\left(x_{1}, \ldots, x_{4}, x_{1}+x_{2}+x_{3}+ \right. x_{4})$, 如果出现了1个错误，那么就可以认出来

Der (7,4)-Hamming-Code

\[ G=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}\right) \in F _{2}^{7 \times 4} \]

它的映射是 $\left(x_{1}, \ldots, x_{4}\right) \mapsto(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{2}+x_{3}+x_{4}, x_{1}+x_{3}+x_{4}, x_{1}+x_{2}+x_{4})$

线性映射

定义8.1 线性

一个映射 $\varphi : V \rightarrow W$ 是线性的(linear)，若满足

对于所有 $v, v' \in V: \varphi\left(v+v^{\prime}\right)=\varphi(v)+\varphi\left(v^{\prime}\right)$
对于所有 $v \in V$ 和 $a \in K: \varphi(a \cdot v)=a \cdot \varphi(v)$

定义8.3 核和映射

若 $\varphi: V \rightarrow W$ 是线性的。$\varphi$ 的核(Kern)是集合 \[ \operatorname{Kern}(\varphi):=\{v \in V | \varphi(v)=0\} \subseteq V \] $\varphi$ 的图像(Bild)是 \[ \operatorname{Bild}(\varphi):=\varphi(V)=\{\varphi(v) | v \in V\} \subseteq W \]

定理8.4 线性映射

若 $\varphi: V \rightarrow W$ 是一个线性映射，则

$\operatorname{Kern}(\varphi) \subseteq V$ 是一个子空间
$\operatorname{Bild}(\varphi) \subseteq W$ 是一个子空间
满足下列等价关系 \[ \varphi \text { ist injektiv } \Longleftrightarrow \operatorname{Kern}(\varphi)=\{0\} \]

定义8.6 同构

线性映射 $\varphi: V \rightarrow W$ 是同构(Isomorphismus), 若 $\varphi$ 是双射的(bijektiv). 那么反映射(Umkehrabbildung) $\varphi^{-1}: W \rightarrow V$ 是同构。$V$ 和 $W$ 是同构的(isomoph)，若存在一个映射 $V \rightarrow W$ .记号：$V \cong W$

定理8.7 维度和同构

若 $n:=\operatorname{dim}(V)<\infty$ 那么满足 \[ V \cong K^{n} \]

定理8.9 线性映射的维度定理

若 $\varphi: V \rightarrow W$ 是线性的，那么 \[ \operatorname{dim}(V)=\operatorname{dim}(\operatorname{Kern}(\varphi))+\operatorname{dim}(\operatorname{Bild}(\varphi)) \]

推论8.10 行秩等于列秩

矩阵的秩 $A \in K^{m \times n}$ 是从列展开的子空间 $ K ^{m}$ 的维度

推论8.11 等价命题

若 $\operatorname{dim}(V)=\operatorname{dim}(W)<\infty$ 且 $\varphi: V \rightarrow W$ 是线性映射。那么下面三句话是等价的

$\varphi$ 是同构 Isomorphismus
$\varphi$ 是 injektiv
$\varphi$ 是 surjektiv

定义8.12 逆矩阵

一个方向矩阵 $A \in K^{n \times n}$ 是可逆的 (invertierbar) ，若有$B \in K^{n \times n}$ 使得 $A \cdot B=I_{n}$. 写为 $B=A^{-1}$

定理8.14 Lineare Fortsetzung

若 $B=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\}$ 是 $V$ 的一个基.

一个线性映射 $\varphi: V \rightarrow W$ 是通过基向量的Bild $v_{i}$ 确定的。也就是说若 $\psi: V \rightarrow W$ 是另一个线性映射, 且 $\varphi\left(v_{i}\right)=\psi\left(v_{i}\right)$ . 对于所有 $i$, 满足 $\varphi=\psi$
若 $w_{1}, \ldots, w_{n} \in W$ 任意的。那么对于所有 $i$ 存在一个线性映射 $\varphi: V \rightarrow W$ 使得 $\varphi\left(v_{i}\right)=w_{i}$

展示矩阵

定义 9.1 展示矩阵

$V, W$ 是有限维度的 $K$-向量空间。$B=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\}$ 和 $C=\left\{w_{1}, \ldots, w_{m}\right\}$ 分别是 $V, W$ 的基。

若 $\varphi: V \rightarrow W$ 是线性映射，对于 $j \in\{1, \ldots, n\}$ 我们可以写出 \[ \varphi\left(v_{j}\right)=\sum_{i=1}^{m} a_{i, j} w_{i} \] 所以我们可以构造一个矩阵 \[ A=\left(a_{i, j}\right)=\left(\begin{array}{cc} a_{1,1} \cdots a_{1, n} \\ \vdots & \vdots \\ a_{m, 1} \cdots a_{m, n} \end{array}\right) \in K^{m \times n} \] $A$ 的列是 $\varphi(v_{i})$ 的坐标向量。这个矩阵 $A$ 是$\varphi$ 的展示矩阵(Darstellungsmatrix) ，写作 \[ A=D_{C, B}(\varphi) \] 若 $V = W$ ，那么我们可以用相同的基 $B=C$ ，写作 $D_{B}(\varphi) \in K^{n \times n}$

求展示矩阵: 先写出所有基的映射，然后按照基展开，再依次写入矩阵 $A$

定理 9.4 线性映射和矩阵映射

已知 $V = K^{n}, W = K^{m}$ 且标准基是 $B,C$ 。一个线性映射

$\varphi: V \rightarrow W$ ,且 $A:=D_{C, B}(\varphi)$ ，那么满足 \[ \varphi=\varphi_{A} \] 特别地，所有从这个形式 $\varphi_{A}$ 来的的线性映射 $V \rightarrow W$，$A \in K^{m \times n}$ ，且 $A$ 是 $\varphi _{A}$ 的展示矩阵

定理 9.5 传递性

若 $U, V$ 和 $W$ 是有限维度的 $K$-向量空间，基是$A,B,C$. 若 $\varphi: U \rightarrow V$ , $\psi: V \rightarrow W$ 是线性映射，那么 \[ D_{C, A}(\psi \circ \varphi)=D_{C, B}(\psi) \cdot D_{B, A}(\varphi) \] 也就是：线性映射的复合是矩阵乘法

定义 9.6 一般线性群

集合 \[ \text{GL} _{n}(K):=\left\{A \in K^{n \times n} | A \text { 可逆}\right\} \] 是一般线性群(allgemeine lineare Gruppe)

若 $B=\left\{v_{1}, \ldots, v_{n}\right\}$ 是 $V$ 的基， $B^{\prime}=\left\{v_{1}^{\prime}, \ldots, v_{n}^{\prime}\right\}$ 是另一个基，那么我们可以用基变换矩阵(Basiswechselmatrix)来表示. \[ v_{j}^{\prime}=\sum_{i=1}^{n} a_{i, j} v_{i} \] $S:=\left(a_{i, j}\right) \in K^{n \times n}$ 是基变换矩阵

定理 9.7 计算公式1

若 $B $ 和 $B' $ 是有限维度的 $K$-向量空间 $V$ 的基。$S:=S_{B, B^{\prime}}$ 是基变换矩阵. 那么对于线性映射 $\varphi: V \rightarrow V$ 满足： \[ D_{B^{\prime}}(\varphi)=S^{-1} \cdot D_{B}(\varphi) \cdot S \]

定理 9.8 计算公式2

若 $B, B'$ 是$V$ 和$C$的有限基. $C'$ 是$W$ 的基。那么对线性映射 $\varphi: V \rightarrow W$ 满足 \[ D_{C^{\prime}, B^{\prime}}(\varphi)=S_{C^{\prime}, C} \cdot D_{C, B}(\varphi) \cdot S_{B, B^{\prime}}=S_{C, C^{\prime}}^{-1} \cdot D_{C, B}(\varphi) \cdot S_{B, B^{\prime}} \]

定义 9.9 相似和等价

两个方形矩阵 $A, B \in K^{n \times n}$ 是相似的(ähnlich), 若存在

$S \in GL _{n}(K)$ 使得 \[ B=S^{-1} A S \] (b) 两个矩阵 $A, B \in K^{m \times n}$ 是等价的(äquivalent)，若存在$S \in GL _{n}(K)$ 和 $T \in GL _{m}(K)$ 使得 \[ B=T^{-1} A S \]

行列式

对于 $n \in \mathbb{N}_{>0}$, 定义对称群(symmetrische Gruppe)： \[ S_{n}:=\{\sigma:\{1, \ldots, n\} \rightarrow\{1, \ldots, n\} \mid \sigma \text { ist bijektiv }\} \] $S_{n}$ 里的元素是排列(Permutation)

定义 10.1 正负号

对于 $\sigma \in S_{n}$ 定义:

$w(\sigma)$ 是 $(i, j) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}$ ， $1 \leq i<j \leq n$ ，$\sigma(i)>\sigma(j)$ 的二元对的个数
$\operatorname{sgn}(\sigma):=(-1)^{w(\sigma)}$ 是 $$ 的正负号(Vorzeichen)

定理 10.3 结合律

对于 $\sigma, \tau \in S_{n}$ 满足 \[ \operatorname{sgn}(\sigma \tau)=\operatorname{sgn}(\sigma) \operatorname{sgn}(\tau) \]

定义10.4 行列式

若 $A=\left(a_{i, j}\right) \in K^{n \times n}$ 是一个方形矩阵.

$A$ 的积和式 Permanente 是 \[ \operatorname{perm}(A):=\sum_{\sigma \in S_{n}} \prod_{i=1}^{n} a_{i, \sigma(i)} \]
$A$ 的行列式是 \[ \operatorname{det}(A):=\sum_{\sigma \in S_{n}} \operatorname{sgn}(\sigma) \cdot \prod_{i=1}^{n} a_{i, \sigma(i)} \]

引理 10.6 行列式性质

若 $A=\left(a_{i, j}\right) \in K^{n \times n}$ ，

$\operatorname{det}\left(A^{T}\right)=\operatorname{det}(A)$
若 $\sigma \in S_{n}$, 定义 $b_{i, j}:=a_{i, \sigma(j)}$ 和 $B:=\left(b_{i, j}\right) \in K^{n \times n}$. 那么满足 \[ \operatorname{det}(B)=\operatorname{sgn}(\sigma) \cdot \operatorname{det}(A) \]
若 $A$ 的2行或者2列一致，那么 \[ \operatorname{det}(A)=0 \]

定理 10.7 行列式乘积定理

对于 $A, B \in K^{n \times n}$ 满足 \[ \operatorname{det}(A \cdot B)=\operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(B) \]

拆开行列式乘积 Blatt 09 T02

定理 10.8 规则的矩阵

对于 $A \in K^{n \times n}$ 满足等价关系 \[ A \text { 规则 } \Longleftrightarrow \operatorname{det}(A) \neq 0 \]

推论 10.9 相似性与行列式

两个矩阵 $A, B \in K^{n \times r}$ 是相似的，那么满足 \[ \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B) \]

定义 10.10 特殊线性群

集合 \[ \mathrm{SL}_{n}(K):=\left\{A \in K^{n \times n} \mid \operatorname{det}(A)=1\right\} \] 是特殊线性群 (spezielle lineare Gruppe)

定理 10.11 行列式变换

设 $A=\left(a_{i, j}\right) \in K^{n \times n}$ , $n \geq 2$ . 对于 $i, j \in\{1, \ldots, n\}$ 若

$A_{i, j} \in K^{(n-1) \times(n-1)}$ 是通过舍弃第 $i$-行或者第 $j$-列的矩阵，那么对于所有 $i \in\{1, \ldots, n\}$ 满足： \[ \operatorname{det}(A)=\sum_{j=1}^{n}(-1)^{i+j} a_{i, j} \cdot \operatorname{det}\left(A_{i, j}\right) \] 对于所有$j \in\{1, \ldots, n\}$ 满足： \[ \operatorname{det}(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j} a_{i, j} \cdot \operatorname{det}\left(A_{i, j}\right) \]

按行和列展开，找0多的 Blatt 09 T02

行列式变换性质

Typ I: 交互两行

行列式正负符号交换
Typ II: 将一行乘上非零常数 $s$

行列式在外面乘上这个常数： \[ \operatorname{det}(\text { 新 })=s \cdot \operatorname{det}(\text {老 }) \]
Typ III：把一行的$s$ 倍加上另一行:

行列式值不变

用1的行/列消去其他行/列 Blatt09 T02

特殊的行列式

对于对角矩阵(Diagonalmatrix) \[ A=\left(\begin{array}{ccc} a_{1} & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & a_{n} \end{array}\right) \] 满足： \[ \operatorname{det}(A)=a_{1} \cdots a_{n} \] 我们把对角矩阵也写作 \[ A=\operatorname{diag}\left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \]
上三角矩阵 \[ A=\left(\begin{array}{ccc} a_{1} & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & a_{n} \end{array}\right) \] 满足 \[ \operatorname{det}(A)=a_{1} \cdots a_{n} \]

Blatt 9 T01

对于矩阵 \[ A=\left(\begin{array}{ll} B & 0 \\ C & D \end{array}\right) \] 其中 $B \in K^{l \times l}, D \in K^{(n-l) \times(n-l)}$ 且 $C \in K^{(n-l) \times l}$ 满足： \[ \operatorname{det}(A)=\operatorname{det}(B) \cdot \operatorname{det}(D) \]

Blatt 9 T01

自值 Eigenwert

定义 11.1 特征值

若 $A \in K^{n \times n}$ 是一个方形矩阵. 一个 $\lambda \in K$ 是 $A$ 的特征值 Eigenwert, 若存在 $v \in K^{n} \backslash\{0\}$ 使得 $A \cdot v=\lambda \cdot v$ 成立. 这样的向量 $v$ 是$A$ 的特征向量Eigenvektor \[ E_{\lambda}:=\left\{v \in K^{n} \mid A \cdot v=\lambda \cdot v\right\} \] 是特征值 $\lambda$ 的特征空间. 它由所有特征向量和零向量组成. 若 $\lambda \in K$ 不是特征量, $E_{\lambda}$ 也有定义

推论 11.3 特征向量子空间

对于 $A \in K^{n \times n}$ 和 $\lambda \in K$, $E_{\lambda} \subseteq K^{n}$ 是一个子空间.

定义 11.4 特征多项式

若 $A \in K^{n \times n}$ 一个方形矩阵. 在多项式环 $K[x]$ 我们构造 \[ \chi_{A}:=\operatorname{det}\left(x \cdot I_{n}-A\right) \] 这样定义的多项式是$A$ 的特征多项式 charakteristische Polynom.

定理 11.5 特征值是多项式零点

一个方形矩阵 $A$ 的特征值是特征多项式 $\chi_{A}$ 的零点.

定理 11.8 代数基本定理

每个不是常数的多项式 $f \in \mathbb{C}[x]$ 在 $\mathbb{C}$ 中有零点. 由此分解 $f$ 为线性因子.

推论 11.9 有无特征值

若 $A \in K^{n \times n}$

$A$ 有最多 $n$ 个特征值
若 $K$ 是代数闭合的，那么 $A$ 有特征值

定义 10.10 代数倍数和几何倍数

若 $\lambda \in K$ 是 $A \in K^{n \times n}$ 的一个特征值

$\lambda$ 的代数倍数algebraische Vielfachheit $m_{a}(\lambda)$ 是 $\lambda$ 在特征多项式 $\chi_{A}$ 零点的倍数
$\lambda$ 的几何倍数geometrische Vielfachheit是 \[ m_{g}(\lambda):=\operatorname{dim}\left(E_{\lambda}\right) \]

定理 11.12 两个倍数关系

若 $\lambda \in K$ 是矩阵 $A \in K^{n \times n}$ 的特征值，那么满足 \[ 1 \leq m_{g}(\lambda) \leq m_{a}(\lambda) \]

定义 11.13 可对角化

一个方形矩阵 $A \in K^{n \times n}$ 是可对角化 diagonalisierbar 的，若存在存在于$A $ 的特征向量里 $K^{n}$ 的一个基 . 也就是 $A$ 是与一个对角矩阵相像

定理 11.15 判定可对角化

一个矩阵 $A \in K^{n \times n}$ 是可对角化的，当且仅当下面两个条件成立

特征多项式 $\chi_{A}$ 可以分解为线性因子 \[ \chi_{A}=\prod_{i=1}^{r}\left(x-\lambda_{i}\right)^{e_{i}} \] 且 $e_{i}=m_{a}\left(\lambda_{i}\right)$
对于所有特征值 $\lambda _{i}$ 满足 \[ m_{g}\left(\lambda_{i}\right)=m_{a}\left(\lambda_{i}\right) \]

引理 11.16 特征值为零

若 $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r} \in K$ 是一个矩阵 $A \in K^{n \times n}$的两两不同的特征值. 若 $v_{i} \in E_{\lambda_{i}}$ \[ v_{1}+\cdots+v_{r}=0 \] 那么所有 $v_{i} = 0$

定理 11.17 三角矩阵

若 $K$ 代数闭合且 $A \in K^{n \times n}$.那么 $A$ 与上面的三角矩阵相像 \[ S^{-1} A S=\left(\begin{array}{ccc} \lambda_{1} & & * \\ & \ddots & \\ 0 & & \lambda_{n} \end{array}\right) \] 是 $S \in \mathrm{GL}_{n}(K)$ . 那么有 $\chi_{A}=\prod_{i=1}^{n}\left(x-\lambda_{i}\right)$

谷歌矩阵

定义 12.4 随机的矩阵

一个矩阵 $A=\left(a_{i, j}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是stochastisch随机的(或者行随机的), 若 $a_{i, j} \geq 0$ 对所有 $i, j$ 成立且 $\sum_{j=1}^{n} a_{i, j}=1$ 对所有 $i$ 成立. $A$ 是正的(positiv), 若对于所有$i,j$ 有 $a_{i, j}>0$

定理 12.5 乘积随机

若 $A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是随机的. 那么 $A \cdot B$ 也是随机的

定理 12.6 随机矩阵性质

若 $A=\left(a_{i, j}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 随机的

$A$ 有特征值 $1$ , 对于所有 $A$ 的特征值 $\lambda \in \mathbb{C}$满足 $|\lambda| \leq 1$
若 $A$ 此外是正的, 那么满足 $m_{a}(1)=1$ , 且对于所有特征值 $\lambda \in \mathbb{C} \backslash\{1\}$ 满足 $|\lambda|<1$

定理 12.8

若

且，$B \in K^{(n-1) \times(n-1)}$ ，使得 $1$ 不是$B$ 的特征值，那么满足

定理 12.9

定理 12.10

定理 12.11

算法 12.12

向量积

定义 13.1 向量积

对于 $v=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right)$ 和 $w=\left(\begin{array}{c}y_{1} \\ \vdots \\ y_{n}\end{array}\right) \in K^{n}$ \[ \langle v, w\rangle:=\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}\left(=v^{T} w\right) \in K \] 是向量积(Skalarprodukt). 向量 $v$ 和 $w$ 是垂直的 senkrecht(= orthogonal) 若 $\langle v, w\rangle=0$ . 对于一个子空间 $U \subseteq K^{n}$ \[ U^{\perp}:=\left\{v \in K^{n} \mid\langle u, v\rangle=0 \text { für alle } u \in U\right\} \] 是 $U$ 的垂直分量orthogonale Komplement.

推论 13.2 向量积性质

对于所有 $u, v, w \in K^{n}$ 和 $a \in K$ 满足

\[ \langle u, v+a \cdot w\rangle=\langle u, v\rangle+a \cdot\langle u, w\rangle \]

且 \[ \langle u+a \cdot v, w\rangle=\langle u, w\rangle+a \cdot\langle v, w\rangle \]

对于 $v, w \in K^{n}$ 满足 \[ \langle v, w\rangle=\langle w, v\rangle \]
满足 \[ \left(K^{n}\right)^{\perp}=\{0\} \]

定义 13.3 向量的长度

对于 $v \in \mathbb{R}^{n}$ , \[ |v|:=\sqrt{\langle v, v\rangle} \in \mathbb{R}_{\geq 0} \] 是 $v$ 的长度 Länge.

定义 13.5 垂直系统

集合 $S=\left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\} \subset \mathbb{R}^{n}$ 是垂直系统Orthonormalsystem, 若 $v_{i}, v_{j}$ 垂直,且 $\left|v_{i}\right|=1$ 对所有 $i$ 成立. \[ \left\langle v_{i}, v_{j}\right\rangle=\delta_{i, j} \quad \text { mit } \quad \delta_{i, j}:=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { falls } i=j \\ 0 & \text { sonst } \end{array}\right. \] 若 $A \in \mathbb{R}^{n \times k}$ 是以 $v_{i}$ 为列的矩阵, 那么 \[ S \text { Orthonormalsystem } \Longleftrightarrow A^{T} \cdot A=I_{k} \]

定理 13.7 垂直系统线性无关

每个垂直系统Orthonormalsystem是线性不相干的.

定理 13.8 垂直基

若 $U \subseteq \mathbb{R}^{n}$ 是子空间，$k:=\operatorname{dim}(U)$，$S =\left\{v_{1}, \ldots, v_{k}\right\} \subset U$ 那么我们说 $S$ 是 $U$ 的一个垂直基

算法13.10 格拉姆-施密特正交化

输入：一个子空间 $U=\left\langle v_{1}, \ldots, v_{k}\right\rangle \subseteq \mathbb{R}^{n}$

输出：$U$ 的一个垂直基 $\left\{u_{1}, \ldots, u_{m}\right\}$

令 $m:=0$
对于 $i=1, \ldots, k$ 执行第3,4步
令 \[ w_{i}:=v_{i}-\sum_{j=1}^{m}\left\langle u_{j}, v_{i}\right\rangle \cdot u_{j} \]
若 $w_{i} \neq 0$, 令 $m:=m+1$ 且 \[ u_{m}:=\frac{1}{\left|w_{i}\right|} \cdot w_{i} \]

定理 13.12 每个子空间有垂直基

每个 $\mathbb{R}^{n}$ 的子空间有一个垂直基

定义 13.13

一个方形矩阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是垂直的 orthogonal, 若 \[ A^{T} \cdot A=I_{n} \] 此外 \[ \mathrm{O}_{n}(\mathbb{R}):=\left\{A \in \mathbb{R}^{n \times n} \mid A^{T} \cdot A=I_{n}\right\} \] 是垂直群 orthogonale Gruppe 且 \[ \mathrm{SO}_{n}(\mathbb{R}):=\mathrm{O}_{n}(\mathbb{R}) \cap \mathrm{SL}_{n}(\mathbb{R}) \] 是特定垂直群 spezielle orthogonale Gruppe

对称矩阵

此章节用于证明每一个对称的实数矩阵都是可对角化的.

在图论的应用

两个图 $G=(V, E)$ ，$G^{\prime}=\left(V^{\prime}, E^{\prime}\right)$ 是同构的isomorph，若存在一个 Bijektion $f: V \rightarrow V^{\prime}$ 使得 \[ \{\{f(u), f(v)\} \mid\{u, v\} \in E\}=E^{\prime} \]

定义 15.1 邻接矩阵

若 $G=(V, E)$ , $V=\left\{u_{1}, \ldots, u_{n}\right\}$ ，我们定义 \[ g_{i, j}:=\left\{\begin{array}{ll} 1 & \text { falls }\{i, j\} \in E \\ 0 & \text { sonst } \end{array} \text { und } A:=\left(g_{i, j}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n}\right. \] 是$G$ 的邻接矩阵 Adjazenzmatrix. $A$ 的特征值的集合是 $G$ 的 Spektrum

定理 15.3

同构图的Spektren 是一样的

定义 15.5 拉普拉斯矩阵

若 $G$ 是一个图，邻接矩阵为 $A:=\left(g_{i, j}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 对于 $i=1, \ldots, n$. \[ d_{i}:=\sum_{j=1}^{n} g_{i, j} \] 是第 $i$ 个节点的度数Grad. 我们构造 \[ L=\left(l_{i, j}\right) \in \mathbb{R}^{n \times n} \quad \text { mit } \quad l_{i, j}=\left\{\begin{array}{ll} -g_{i, j} & \text { falls } i \neq j \\ d_{i} & \text { falls } i=j \end{array}\right. \] 是 $G$ 的拉普拉斯矩阵 Laplace-Matrix. $L$ 的特征值的集合是 $G$ 的 Laplace-Spektrum

定理 15.8

一个图中强连通分量的个数是是在 Laplace-Spektrum中特征值 $0$ 的倍数