Analysis

数学分析

实数

数集

\[ \Z=\{所有整数的集合\} \\ \R = \{所有实数的集合\} \\ \Q = \{所有有理数的集合\} \\ \N=\{x\in Z:x\ge 0\} = \N_0 \\ \N_{>0}=\{1,2,3,4,...\}=\{x\in N:x>0\} \]

定义 1.1 子集

$B$ 是 $A$ 的子集， $B \subseteq A$ ，若 $\forall x \in B \Rightarrow x\in A$

定义1.2 映射

一个函数 $f: A\rightarrow B$ 是

injektiv 若 $\forall_{x \neq y \in A} f(x) \neq f(y)$
surjektiv 若 $\forall_{y \in B} \exists_{x \in A} f(x)=y$
bijektiv 若 $f$ 同时 injektiv 和 surjektiv

集合的模 Kardinalität

如果两个集合 $A,B$ 大小相同 $|A|=|B|$, 若存在一个 Bijektion 从 $A$ 到 $B$. 如果 $|A|\ge|B|$ ,若存在一个 Surjektion 从 $A$ 到 $B$.

定理 1.3 Das Auswahl Axiom

一个从 $A$ 到 $B$ Surjektion 存在，当且仅当存在一个 $B$ 到 $A$ 的 Injektion.

定理1.4 任意集合大小

对于任意的 $A,B$ 要么 $|A| \le |B|$ 或者 $|A| \ge |B|$

定理 1.5 Cantor-Bernstein

对于一个从 $A$ 到 $B$ 和从 $B$ 到 $A$ 的 Injektion 存在，那么也存在一个从 $A$ 到 $B$ 的 Bijektion

定义 1.6: 集合可数

一个集合是可数的，若 $|A|=|\N|$ . 我们写作 $|A| = \aleph_{0}$

集合 $A$ 可数，若存在一个surjektiv 的映射 $f : \N \rightarrow A$ .

定理: 可数集合

$\Q$ 可数，$\R$ 不可数

定理：$C$ 无序

实数和向量

定义 2.1 域 Körper

一个 Körper $(F,+,\cdot)$ 是一个集合 $F$ 和另两个操作符 $+, \cdot$ 使得：

$\forall_{x, y, z \in F}(x+y)+z=x+(y+z)$
$\forall_{x, y \in F} x+y=y+x$
$\exists_{0 \in F} \forall_{x \in F} x+0=x$
$\forall_{x \in F} \exists_{y \in F} x+y=0$
$\forall_{x, y, z \in F}(x \cdot y) \cdot z=x \cdot(y \cdot z)$
$\forall_{x, y \in F} x \cdot y=y \cdot x$
$\exists_{1 \in F} \forall_{x \in F} x \cdot 1=x$
$\forall_{0 \neq x \in F} \exists_{y \in F} x \cdot y=1$
$\forall_{x, y, z \in F} x \cdot(y+z)=x \cdot y+x \cdot z$

一个域是可以排序的 angeordnet 若存在一个关系 $<$ 使得

对于任意的 $x\in F$ 下面的关系只满足一个
1. $x >0$
2. $x<0$
3. $x=0$
$\forall_{x, y \in F} x, y>0 \Longrightarrow x+y, x \cdot y>0$
$\forall x, y \in F x>y \Longleftrightarrow x-y>0$

一些记号

$(a,b)=\{x \in \R: a < x <b \}$ 是开区间
$[a,b] = \{x \in \R: a \le x \le b \}$ 闭区间
$(a,b] = \{x \in \R: a < x \le b \}$ 半开闭区间

定义 2.2 : 集合的上界

一个数 $x$ 是一个集合 $M \subseteq \R$ 的上界，若 $\forall y \in M$ 满足 $y \le x$. $M\subseteq \R$ 有上界 nach oben beschränkt 若$M$ 存在一个上界，否则就是没有上界 nach oben unbeschränkt

定义 2.3 最大值

一个数 $x\in \R$ 是一个集合 $M\subseteq \R$ 的最大值，若 $x \in M,\forall y \in M$ 满足 $y \le x$

定义 2.4 Supremum

一个实数 $s$ 是一个子集 $M \subseteq \R$ 的 Supremum 若 $s$ 是一个上街，且 $s \le x$ 对于每一个$M$ 的上界 $x$ 成立。也就是说 $s$ 是 $M$ 的最小上界。

约定

$\text{sup}M = \infin$ 若 $M$ 没有上界
$\text{sup}\varnothing=-\infin$
$\text{inf}M=-\infin$ 若 $M$ 没有下界
$-\infin < a < \infin$ 对于所有 $a \in \R$ 成立

定义 2.5 vollständig

一个有序的域是完全vollständig的, 若每个非空有上界的子集有 Supremum

定理 2.6 $\R$ 是完全的

定理 2.7 supremum 的性质

若 $A, B \subseteq \R$ , $sup(A), sup(B) \in R$ 那么有

$sup(A+B) = sup(A) + sup(B)$ 对于 $A+B = \{a+b:a \in A, b \in B\}$
若 $\lambda \ge 0$ 那么满足 $sup(\lambda A) = \lambda sup(A)$ , 其中 $\lambda A=\{\lambda \cdot a:a\in A\}$
若 $A,B \subseteq [0,\infin]$ 那么满足 $sup(A\cdot B)=sup(A)\cdot sup(B)$, 其中 $A\cdot B = \{a\cdot B:a\in A,b\in B\}$
若 $A\subseteq B$ 那么 $sup(A)\le sup(B)$

定义 2.8 周围Umgebung

若 $x \in R$ 一个开区间 $(a,b)$ 是$x$ 的周围若 $x\in (a,b)$

定义 2.9 开

一个集合 $A\in \R$ 是开的，若对于每个 $x\in A$ 存在一个 Umgebung $I_x$ ，使得 $I_x \subseteq A$.

定义 2.10 闭合

一个集合 $A\subseteq \R$ 是闭合的，若 $\R \setminus A$ 是开的

定理 2.11 $\R$ 和 $\empty$

若 $A$ 同时开和闭，那么$A=\empty$ 或者 $A=\R$

定理 1.9 archimedisch

$R$ 是 archimedisch 就是对于所有 $a \in R$ 存在 $n \in \N$ ， $a < n$. $R$ 里不存在无穷大的数

定理 1.10 dicht

有理数在 $R$ 里是致密的. 也就是对于所有 $a,b R $ , $a < b$ 存在 $r \in \Q$ 使得 \[ a < r < b \]

Dezimaldarstellung

若 $a \in \R$ , $a$ 的小数表示是这样的形式： \[ \pm d_0.d_1d_2d_3 ... \] 且 $d_0 \in N_0, d_i \in \{0,1,...,9\}$ 对于所有 $i \in N$. 每个有限的小数都可以用有理数表示 \[ \pm d_0.d_1d_2d_3 ...d_n = \pm \frac{p_n}{10^n} \] 其中 $p_n \in \N_0$ 是数字 $d_0d_1 ... d_n$

定理: 平均分

$B \subset R$ 是可数的. 若人从 $[0,1]$ 里平均的选一个数, 那么它有 $1$ 的概率不再里面.

重要的不等式

向量空间 $\R^n$

\[ \mathbb{R}^{n}:=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right): x_{1}, \ldots, x_{n} \in \mathbb{R}^{n}\right\} \]

\[ \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)+\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right):=\left(x_{1}+y_{1}, \ldots, x_{n}+y_{n}\right) \]

\[ \gamma \cdot\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)=\left(\gamma \cdot x_{1}, \ldots, \gamma \cdot x_{n}\right) \]

\[ \left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \cdot\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)=\sum_{k=1}^{n} x_{k} y_{k} \]

\[ \left\|\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)\right\|:=\sqrt{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \cdot\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}=\sqrt{\sum_{k=1}^{n} x_{k}^{2}} \]

数量积的性质

$\forall \bar{x}, \bar{y} \in \mathbb{R}^{n} \bar{x} \cdot \bar{y}=\bar{y} \cdot \bar{x}$
$(\alpha \bar{x}) \cdot \bar{y}=\bar{x} \cdot(\alpha \bar{y})=\alpha(\bar{x} \cdot \bar{y})$ 对于每个 $\alpha \in \R$ 和 $\bar{x},\bar{y} \in \R^n$ 成立
$\forall \bar{x}, \bar{z}, \bar{y} \in \mathbb{R}^{n}(\bar{x}+\bar{y}) \cdot \bar{z}=\bar{x} \cdot \bar{z}+\bar{y} \cdot \bar{z}$
$\forall_{\bar{x} \in \mathbb{R}^{n} } \bar{x}\cdot \bar{x} \geq 0$ 取等号当 $\bar{x}=0$

定理: 三角不等式

对于所有 $x,y \in \R$ 满足 \[ |x+y| \le |x| + |y| \] 取等号当且仅当 $xy \ge 0$ . Allgemein \[ |\sum_{i=1}^{n}x_i| \le \sum_{i=1}^{n} |x_i| \] 取等号，当且仅当 $x_i$ 符号相同

定理逆向三角不等式

\[ |x+y| \ge ||x| - |y|| \]

定理：多维空间的三角不等式

定理: 柯西不等式

Folgen

定义 3.1 数列

若 $M$ 是一个集合，一个值在 $M$ 中的数列是一个映射 $\N^+ \rightarrow M$ 或者 $\N \rightarrow M$ 我们写作 $x_1, x_2, x_3...$ 或者 $x_0, x_1,x_2 ... $

定义3.2 单调递增

一个数列是单调递增的，若 $\forall n \ x_n \le x_{n+1}$ , 一个数列是严格递增的，若 $\forall n \ x_n < x_{n+1}$ . 单调递减类似定义

定义 3.3 极限

若 $(x_n)_{n \in \N}$ 是一个实数数列，一个数 $x \in \R$ 是它的极限，若对于任何 $\epsilon > 0$ 存在一个 $\N$ 使得对于所有 $n \ge \N$ ，$|x_n - x| < \epsilon$ 成立，我们写作 \[ x_{n} \underset{n \rightarrow \infty}{\rightarrow} x \] 或者 $x=\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$

定理 3.4 极限唯一

每个数列 $(x_n)$ 最多有一个极限

定理 3.5 判断极限大小

$(x_n)$ 和 $(y_n)$ 是两个数列，$x_n \rightarrow x, y_n \rightarrow y$ 若 $\forall n , x_n \le y_n ,$ 那么 $x \le y$

定理 3.6 夹逼定理

若 $(x_n)$ , $(y_n)$ 是数列，$x_n \rightarrow x, y_n \rightarrow x$ . 若 $(w_n)$ 是数列，且 $\forall n, x_n \le w_n \le y_n$ 那么 $w_n \rightarrow x$

定义 3.7 发散至无穷

我们说，$(x_n)$ geht gegen发散至 $+\infin$ 若对于所有 $c > 0$ 存在 $N \in \N$ 使得 $x_n \ge c \ \forall n \ge N$

$(x_n)$ 发散至 $-\infin$ 若 $(-x_n)$ 发散至 $+\infin$

定理 3.8 收敛有界

每个收敛的的数列是有界的

定理 3.9 极限的计算规则

若 $(x_n), (y_n)$ 是数列， $x_n \rightarrow a$ 并且 $y_n \rightarrow b$ 那么 $x_n + y_n \rightarrow a + b, x_n - y_n \rightarrow a - b, x_n \cdot y_n \rightarrow a \cdot b, \frac{x_n}{y_n} \rightarrow \frac{a}{b}, (b \ne 0)$

定理3.10 判断收敛

每个单调递增且有上界的是收敛的。单调递减同理。

定义3.11 极限点 Häufungspunkt

若 $(x_n)$ 是实数数列，且 $n_{1}<n_{2}<n_{3}<...n_k \in \N$ , 那么 $(x_{n_k})$ 是子序列. $x$ 是 Häufungspunkt 若存在一个子序列 $(x_{n_k})$ 使得 $\lim_{n\rightarrow \infin} x_{n_k} = x$

定理3.12 Bolzano-Weierstrass

给定一个收敛的实数数列 $(x_n)$. 那么supreior的极限是最大的极限点，inferior 的极限是最小的极限点 \[ x_{n} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} x \Leftrightarrow \liminf _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\limsup _{n \rightarrow \infty} x_{n}=x \] 每个有界的实数数列有一个收敛的子序列，所以至少有1个极限点

定理3.13 Cauchys Kriterium für Konvergenz

若 $(x_n)_n$ 是数列，那么它收敛，当且仅当对于所有的 $\epsilon > 0$ 存在 $N$ 使得对于所有 $m,n > N$ \[ \left|x_{n}-x_{m}\right|<\epsilon \]

解题实用结论

求递推数列的极限 \[ \lim_{n \rightarrow \infin} x_n = \lim_{n \rightarrow \infin} x_{n+1} \] 伯努利不等式

对于所有 $n \in \mathbb{N}, x \geq-1$ \[ (1+x)^{n} \geq 1+n x \]

根式极限 \[ \lim_{n \rightarrow \infin}\sqrt[n]{n} = 1 \\ \lim_{n \rightarrow \infin}\sqrt[n]{x} = 1 \] 错位相减 \[ \sum_{k=1}^{n} \frac{k-1}{k !}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{(k-1) !}-\frac{1}{k !}\right)=\frac{1}{0 !}-\frac{1}{n !} \]

放缩

\[ (-1)^{n} \frac{n}{n+1} \leq \frac{n}{n+1}<1 \]

级数

定义 4.1 级数 Reihen

一个复数数列 $(a_n)$ ，我们定义 $s_n = a_{0}+\ldots+a_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}$ . 我们把它描述为无穷级数，也就是通项 Gliedern 是 $a_n$, 部分和 Partialsummenn $s_n$ 的数列.

若 $s_n$ 收敛 $s_{n} n \stackrel{\rightarrow}{\rightarrow} \infty s$，那么这个级数收敛且极值为 $s$ 叫级数的和，或者级数的值。写作 $s=\lim _{n \rightarrow \infty} s_{n}:=\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}$ 如果通项是实数且 $s_n$ 趋近无穷大，那么$\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}=+\infty\left(b z w . \sum_{k=0}^{\infty} a_{k}=-\infty\right)$

定理4.2 收敛的必要条件

若级数收敛，那么必须满足 \[ \lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 \]

定理 4.3 判断级数收敛

如果 $s_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}$ 是一个实数级数且 $a_{k} \geq 0 \forall k \in \mathbb{N}_{0}$ 那么 $s_n$ 收敛当且仅当 $s_n$ 有界

比较审敛法

定义4.4 Majorante

若 $s_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}$ 是一个值为的 $\mathbb{C}$级数. 级数 $\sum_{k=0}^{n} b_{k}\left(\right.$ mit $\left.b_{k} \in \mathbb{R}, \forall k\right)$ $\left|a_{k}\right| \leq b_{k}$ 是 $\sum_{k=0}^{n} a_{k}$ 的Majorante

定理 4.5 比较审敛法Majorantenkriterium

若 $s_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k}$ 是一个值为 $\mathbb{C}$的级数且有一个收敛的 Majorante$\sum_{k=0}^{n} b_{k}$ . 那么 $(s_n)$ 收敛且满足 \[ \left|\sum_{k=0}^{\infty} a_{k}\right| \leq \sum_{k=0}^{\infty}\left|a_{k}\right| \leq \sum_{k=0}^{\infty} b_{k} \]

定义 4.6 divergent

不收敛的级数是发散的 divergent

定理 4.7 判断级数收敛2

若 $\sum_{k=0}^{n} a_{k}$ 是值为 $\mathbb{C}$的级数. 级数收敛，若存在 $q \in \R$ 满足 $q<1$ 且存在 $n_0 \ge 0$ 使得
\[ \forall_{k \geq n_{0}} \frac{\left|a_{k+1}\right|}{\left|a_{k}\right|} \leq q \]

根式判敛法

设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 是要判断审玫性的级数, 令 \[ C=\varlimsup_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}=\limsup _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \]

若 $C < 1$ 级数绝对收敛
若 $C > 1$ 级数发散
$C=1$ 级数可能收敛，可能发散

交错级数Alternierende Reihen

一个级数 $ {k=0}^{n} a{k} $ 是交错的 alternierend, 若通项会交替出现正负号. 写作 $a_0-a_1+a_2-a_3+a_4...$ 且 $a_0\ge 0$

定理 4.8 交错级数判别法Leibnitzkriterium

若 $(a_n)_{n\ge0}$ 是在 $\R$ 中递减的数列且 $a_{n} \longrightarrow_{n \rightarrow \infty} 0$ . 那么级数 $\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} a_{k}$ 收敛, 且对于所有 $n \in \N$ 满足 \[ \left|\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{n} a_{k}-S_{n}\right|=\left|\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k} a_{k}-\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k} a_{k}\right| \leq a_{n+1} \]

定义4.9 绝对收敛Absolute Konvergenz

$\sum_{k=0}^{n} a_{k}$ 是值为 $\mathbb{C}$的级数绝对收敛，若$\sum_{k=0}^{n} |a_{k}|$ 收敛

定理 4.10 Umordnungssatz

级数$\sum_{k=0}^{n} a_{k}$ 绝对收敛，当且仅当对于每个关于 $\N$ 的排列 $\sigma$ 重新排出的级数有相同的值 \[ \sum_{k=1}^{\infty} a_{\sigma(k)}=\sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \]

定理 4.11 Doppelreihensatz

若$\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty}\left|a_{k, j}\right|<\infty$ ，则 \[ \sum_{k=1}^{\infty} \sum_{j=1}^{\infty} a_{k, j}=\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{k=1}^{\infty} a_{k, j} \]

例子4.12 指数函数

\[ \exp (z)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{z^{k}}{k !} \]

一个结论 \[ \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k !} \] 一个放缩,取第m+1项

对于任意 $m \in \N$ 和 $x \ge 0$ 满足 \[ \exp (x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k !} \geq \frac{x^{m+1}}{(m+1) !} \]

定理 4.13 指数函数的性质

$\exp (-z)=\frac{1}{\exp (z)} \forall z \in \mathbb{C}$
$\exp (z) \neq 0 \forall z \in \mathbb{C}(0$ steht für (0.0)$\in \mathbb{C}$
$\exp (x)>0 \forall x \in \mathbb{R}\left(\exp (x)=e^{x} \forall x \in \mathbb{R}\right)$
$\overline{\exp (z)}=\exp \bar{z} \forall z \in \mathbb{C}$
实数指数函数是单调递增的，对于复数函数满足 $|\exp (z)| \leq \exp (|z|) \forall z \in \mathbb{C}$

柯西乘积

一般地, 对于实数和复数, 柯西乘积定义为如下的离散卷积形式 \[ \left(\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}\right) \cdot\left(\sum_{n=0}^{\infty} b_{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} c_{n} \\ c_{n}=\sum_{k=0}^{n} a_{k} b_{n-k}, n=0,1,2, \ldots \]

函数的极值和连续性

定义5.1 Isolierter Punkt

若 $D \subseteq \R$ . 若 $x_0 \in D$ , $x_0$ 是在 $D$ 中isoliert 若没有数列 $(a_n)$ 存在，使得 $\lim a_n = x_0$ 且对于每个 $n$, $a_n \in D \setminus \{x_0\}$

定义5.2 函数的极值

若 $f$ 是实数值的函数，定义域是 $D \in \R$ . 若 $x_0 \in D$ ，$a$ 是 $f$ 在 $x_0$ 的极值，写作 $a = \lim _{x\rightarrow x_0} f(x)$ , 若 $x_0$ 不是 isoliert 的，且每个收敛于 $x_0$ 的数列 $(a_n)$ ，$D\setminus \{x_0\}$ 满足 $\lim_{x\rightarrow \infin}f(a_n)=x_0$

定义 5.3 连续函数

一个实数函数 $f:D \rightarrow \R$ 是在 $x_0 \in D$ 处连续的函数，若 $\lim_{x\rightarrow x_0}f(x) = f(x_0)$ 或者 $x_0$ 是 isoliert的.

$f$ 是在 $D$ 中连续，若对于 $\forall x \in D$ , $f$ 在 $x$ 处连续

定理 5.4 另一个极值定义

若 $D \in \R$ , 设 $f : D \rightarrow \R$ 和 $x_0 \in D$ 不是isoliert 的. $\lim _{x \rightarrow x+0} f(x)=a$ 当且仅当对于每个 $\epsilon>0$ 存在 $\delta > 0$ 使得对于每个 $x\in(x_0-\delta,x_0+\delta) \cap (D \setminus \{x_0\})$ 有 $|f(x)-a| < \epsilon$

定理 5.5 连续性运算

若 $f,g$ 是实数函数，定义域为 $D$ 若 $f,g$ 在 $x\in D$ 上连续，那么 $f+g, f-g,f \cdot g$ 也在 $x$ 连续若 $g(x) \ne 0$

定理 5.6 指数函数在 $\mathbb{C}$ 上连续

定理5.7 连续函数复合

若$f: D_{f} \rightarrow R$ 和 $g: D_{g} \rightarrow \mathbb{R}$ 且 $f\left(D_{f}\right) \subseteq D_{g}(f(A)=\{f(x): x \in A\})$ 那么若$f$ 在 $x$ 上连续，$g$ 在 $f(x)$ 连续那么$g \circ f: D_{f} \rightarrow \mathbb{R}$ 在 $x$ 上连续

定义 5.8 左极限

若 $f: D \rightarrow \R$ .$f$ 有在点 $a \in D$ 的左极限 $ c$, 也就是 $\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=c$

若 $f(x_n) \rightarrow c$ 对于每个数列 $(x_n) \subseteq D,x_n < a, \forall n \in \N$ 有 $x \rightarrow c$

$f$ 在 $a$ 点左连续，若 $\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=c$

复数和三角函数

定义6.1 三角函数

\[ \sin x:=\frac{\exp (i x)-\exp (-i x)}{2 i}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n+1}}{(2 n+1) !} \\ \cos x:=\frac{\exp (i x)+\exp (-i x)}{2}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{2 n}}{(2 n) !} \]

定理 6.2 三角函数是周期的

定理：欧拉公式

\[ e^{i x}=\cos x+i \sin x \]

定理 6.3

若 $f,g: D\rightarrow \R$ , $D \subseteq \mathbb{R}^{d}, a \in D$

连续性的结论

微分

定义8.1 f(x)=O(g(x))

$f,g$ 是在复数域的函数 $a \in \R$ 或者 $a=\infin$ 或者 $a=-\infin$ 我们定义 $f(x)=O(g(x))$ 对于 $x\rightarrow a$ ，若存在常数 $c>0$ 使得对于每个数列 $(x_n)$ $x_n \rightarrow a$ 满足 \[ \left|f\left(x_{n}\right)\right| \leq c \cdot\left|g\left(x_{n}\right)\right| \] 对于所有$n$ 成立

$f(x)=o(g(x))$ 若 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}=0$

定义8.3 Innerer Punkt

$x_{0} \in D \subseteq \mathbb{R}$ 是 $D$ 的内部点Innerer Punkt 若存在 $\epsilon > 0$ 使得 $\left(x_{0}-\varepsilon, x_{0}+\varepsilon\right) \subseteq D$

$D$ 是开区间offen, 若对于所有的点都是内部点

定义8.4 differenzierbar

函数 $f:D\rightarrow \R$ 在定义域内的内部点 $x_0$ 可微分，若一个数 $f'(x_0)$ 存在，使得 $f(x)=f\left(x_{0}\right)+f^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+o\left(x-x_{0}\right)$ 对于 $x \rightarrow x_0$ ，也就是说 \[ f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} \] 存在

定义8.5 可微分

函数在 $D$ 内可微分，若对于任意点都可微分

定理8.8 可微分性可以推出连续性

定义8.10 左右导数

左导数 \[ f_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0 \atop h>0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} \] 右导数 \[ f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{h \rightarrow 0 \atop h<0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} \]

导数运算法则

\[ (f \cdot g)^{\prime}(x)=f^{\prime}(x) g(x)+f(x) g^{\prime}(x) \]

\[ \left(\frac{f}{g}\right)^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x)}{g(x)^{2}} \]

\[ (g \circ f)^{\prime}(x)=g^{\prime}\left(f\left(x_{0}\right)\right) f^{\prime}\left(x_{0}\right) \]

\[ \left(f^{-1}\right)^{\prime}(x)=\frac{1}{\left.f^{\prime}\left(f^{-1} x\right)\right)} \]

定义8.27

导数的应用

定义 9.1 函数的最值

$I=[a,b]$ 设 $f : I \rightarrow \R$ 在 $I$ 上的最大值和最小值为全局最值 globale Extrema. $f$ 有局部最大值lokales Maximum 若存在开区间 $U\left(x_{0}\right)=\left(x_{0}-\varepsilon, x_{0}+\varepsilon\right)$ 使得 $f(x) \leq f\left(x_{0}\right) \forall x \in U\left(x_{0}\right) \cap I$

若 $f(x)<f\left(x_{0}\right) \forall x \in U\left(x_{0}\right) \cap I, x \neq x_{0}$ 那么就是严格局部最大值 strikte lokale Maximum

最小值类似定义

定理 9.2 可微分有局部最值

函数 $f:[a,b] \rightarrow \R$ 是在点 $x_0 \in (a,,b)$ 上可微分的，那么 $f$ 有在 $x_0$ 处的局部最值 $f'(x_0)=0$

定理 9.6 Rolle定理

设 $f:[a,b] \rightarrow \R$ 在 $[a,b]$ 上连续且在 $(a,b)$ 上可微分

若 $f(a)=f(b)$ 那么存在 $z\in (a,b)$ 使得 $f'(z) = 0$

定理 9.7 中值定理

$f,g : [a,b] \rightarrow \R$ 是在 $[a,b]$ 连续且在 $(a,b)$ 可微分的且满足 $g^{\prime}(x) \neq 0 \forall x \in(a, b)$

那么 $g(a) \ne g(b)$ 且存在 $z\in(a,b)$ 使得 $g'(z)(f(b)-f(a))=f'(z)(g(b)-g(a))$

特别地，若 $g(x)=x$ , 那么存在 $z\in(a,b)$ 使得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(z)$

定理9.8 导数和单调性

设 $f:[a,b] \rightarrow \R$ 在 $(a,b)$ 可微分

$f'>0$ 严格单调递增
$f'<0$ 严格单调递减
$f'\ge 0$ 单调递增
$f'\le 0$ 单调递减

定理 9.11

定理9.12

定义9.17 二次可微分

我们说 $f$ 是可以二次微分的，若 $f$ 可微分，且 $f'$ 可微分. $f$ 是二次连续可微分，若 $f$ 二次可微分且 $f''$ 连续

定理9.18 不等式

实数函数 $f:(a,b) \rightarrow \R$ 在 $(a,b)$ 上有单调递增的导数，那么对于 $x_0,x_1 \in(a,b), x_0 \ne x_1$ 和所有 $\lambda\in(0,1)$ 满足 \[ f\left((1-\lambda) x_{0}+\lambda x_{1}\right) \leq(1-\lambda) f\left(x_{0}\right)+\lambda f\left(x_{1}\right) \forall \lambda \in(0,1) \]

定义9.19 konvex 和 konkav

实数函数 $f:(a,b) \rightarrow \R$ 是konvex，若满足上面那个不等式。

$f$ 是 konkav 若 $-f$ 是 konvex

定理9.20

结论9.21

Jensen’sche Ungleichung

求导公式

\[ y=x^{n}, y^{\prime}=n x^{n-1} \\ y=\sin x, y^{\prime}=\cos x \\ y=\cos x, y^{\prime}=-\sin x \\ y=\tan x, y^{\prime}=\frac{1}{\cos ^{2} x}=\sec ^{2} x \\ y=\cot x, y^{\prime}=-\frac{1}{\sin ^{2} x}=-\csc ^{2} x \\ y=\sec x, y^{\prime}=\sec x \cdot \tan x \\ y=\csc x, y^{\prime}=-\csc x \cdot \cot x \\ y=\ln |x|, y^{\prime}=\frac{1}{x} \\ y=\log _{a} x, y^{\prime}=\frac{1}{x \ln a} \\ y=e^{x}, y^{\prime}=e^{x} \\ y=a^{x}, y^{\prime}=a^{x} \ln a \quad(a>0, a \neq 1) \\ y=\arcsin x, y^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ y=\arctan x, y^{\prime}=\frac{1}{1+x^{2}} \\ y=\operatorname{arccot} x, y^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}} \\ (\operatorname{arccot} x)^{\prime}=-\frac{1}{1+x^{2}} \]

积分

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

若 $f:[a,b] \in \R$ 连续，定义 \[ F(x)=\int_{a}^{x} f(t) d t \] 那么$F(x)$ 在 $(a,b)$ 可微分，且$F'(x)=f(x)$

用奇偶性求积分

例如： \[ \int_{-2}^{2} \sin (x) e^{x^{2}} d x \]

部分积分法

\[ \int_{a}^{b} f(x) g^{\prime}(x) d x=\left.f(x) g(x)\right|_{a} ^{b}-\int_{a}^{b} f^{\prime}(x) g(x) d x \]

换元法

\[ \int_{a}^{b} f(g(t)) g^{\prime}(t) d t=\int_{g(a)}^{g(b)} f(t) d t \]

直接换元

\[ u = f(x), x = g(u), dx = g'(u)du \]

三角函数代换

\[ \int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x=\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sqrt{1-\sin ^{2}(y)} \cos (y) d y=\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \cos ^{2}(y) d y \]

原函数

\[ \int{\sin x}\,dx = -\cos x \\ \int{\cos x}\,dx = \sin x \\ \int{\ln(x)}\,dx = x\ln(x) - x \]