数学分析

Analysis

数学分析

实数

数集

$$\begin{gathered} \text{Z}=\{\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{整}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{集}\mathrm{合}\} \\ \text{R}=\{\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{实}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{集}\mathrm{合}\} \\ \text{Q}=\{\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{有}\mathrm{理}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{集}\mathrm{合}\} \\ \text{N}=\{x\in Z:x\ge 0\}={\text{N}}_0 \\ {\text{N}}_{>0}=\{1,2,3,4,...\}=\{x\in N:x>0\} \end{gathered}$$

定义 1.1 子集

$B$ 是 $A$ 的子集， $B\subseteq A$ ， 若 $\mathrm{\forall }x\in B\Rightarrow x\in A$

定义1.2 映射

一个函数 $f:A\to B$ 是

• injektiv 若 ${\mathrm{\forall }}_{x\ne y\in A}f(x)\ne f(y)$
• surjektiv 若 ${\mathrm{\forall }}_{y\in B}{\mathrm{\exists }}_{x\in A}f(x)=y$
• bijektiv 若 $f$ 同时 injektiv 和 surjektiv

集合的模 Kardinalität

如果两个集合 $A,B$ 大小相同 $|A|=|B|$, 若存在一个 Bijektion 从 $A$ 到 $B$. 如果 $|A|\ge |B|$ ,若存在一个 Surjektion 从 $A$ 到 $B$.

定理 1.3 Das Auswahl Axiom

一个从 $A$ 到 $B$ Surjektion 存在，当且仅当存在一个 $B$ 到 $A$ 的 Injektion.

定理1.4 任意集合大小

对于任意的 $A,B$ 要么 $|A|\le |B|$ 或者 $|A|\ge |B|$

定理 1.5 Cantor-Bernstein

对于一个从 $A$ 到 $B$ 和 从 $B$ 到 $A$ 的 Injektion 存在，那么也存在一个从 $A$ 到 $B$ 的 Bijektion

定义 1.6: 集合可数

一个集合是可数的，若 $|A|=|\text{N}|$ . 我们写作 $|A|={\mathrm{\aleph }}_0$

集合 $A$ 可数，若存在一个surjektiv 的映射 $f:\text{N}\to A$ .

定理: 可数集合

$\text{Q}$ 可数，$\text{R}$ 不可数

定理：$C$ 无序

实数和向量

定义 2.1 域 Körper

一个 Körper $(F,+,\cdot )$ 是一个集合 $F$ 和另两个操作符 $+,\cdot$ 使得：

1. ${\mathrm{\forall }}_{x,y,z\in F}(x+y)+z=x+(y+z)$
2. ${\mathrm{\forall }}_{x,y\in F}x+y=y+x$
3. ${\mathrm{\exists }}_{0\in F}{\mathrm{\forall }}_{x\in F}x+0=x$
4. ${\mathrm{\forall }}_{x\in F}{\mathrm{\exists }}_{y\in F}x+y=0$
5. ${\mathrm{\forall }}_{x,y,z\in F}(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$
6. ${\mathrm{\forall }}_{x,y\in F}x\cdot y=y\cdot x$
7. ${\mathrm{\exists }}_{1\in F}{\mathrm{\forall }}_{x\in F}x\cdot 1=x$
8. ${\mathrm{\forall }}_{0\ne x\in F}{\mathrm{\exists }}_{y\in F}x\cdot y=1$
9. ${\mathrm{\forall }}_{x,y,z\in F}x\cdot (y+z)=x\cdot y+x\cdot z$

一个域是可以排序的 angeordnet 若存在一个关系 $<$ 使得

1. 对于任意的 $x\in F$ 下面的关系只满足一个

   1. $x>0$

   2. $x<0$

   3. $x=0$

2. ${\mathrm{\forall }}_{x,y\in F}x,y>0⟹x+y,x\cdot y>0$

3. $\mathrm{\forall }x,y\in Fx>y⟺x-y>0$

一些记号

• $(a,b)=\{x\in \text{R}:a<x<b\}$ 是开区间
• $[a,b]=\{x\in \text{R}:a\le x\le b\}$ 闭区间
• $(a,b]=\{x\in \text{R}:a<x\le b\}$ 半开闭区间

定义 2.2 : 集合的上界

一个数 $x$ 是一个集合 $M\subseteq \text{R}$ 的上界，若 $\mathrm{\forall }y\in M$ 满足 $y\le x$. $M\subseteq \text{R}$ 有上界 nach oben beschränkt 若$M$ 存在一个上界， 否则就是没有上界 nach oben unbeschränkt

定义 2.3 最大值

一个数 $x\in \text{R}$ 是一个集合 $M\subseteq \text{R}$ 的最大值，若 $x\in M,\mathrm{\forall }y\in M$ 满足 $y\le x$

定义 2.4 Supremum

一个实数 $s$ 是一个子集 $M\subseteq \text{R}$ 的 Supremum 若 $s$ 是一个上街，且 $s\le x$ 对于每一个$M$ 的上界 $x$ 成立。也就是说 $s$ 是 $M$ 的最小上界。

约定

• $\text{sup}M=\text{infin}$ 若 $M$ 没有上界
• $\text{sup}\varnothing =-\text{infin}$
• $\text{inf}M=-\text{infin}$ 若 $M$ 没有下界
• $-\text{infin}<a<\text{infin}$ 对于所有 $a\in \text{R}$ 成立

定义 2.5 vollständig

一个有序的域是完全vollständig的, 若每个非空有上界的子集有 Supremum

定理 2.6 $\text{R}$ 是完全的

定理 2.7 supremum 的性质

若 $A,B\subseteq \text{R}$ , $sup(A),sup(B)\in R$ 那么有

1. $sup(A+B)=sup(A)+sup(B)$ 对于 $A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}$
2. 若 $\lambda \ge 0$ 那么满足 $sup(\lambda A)=\lambda sup(A)$ , 其中 $\lambda A=\{\lambda \cdot a:a\in A\}$
3. 若 $A,B\subseteq [0,\text{infin}]$ 那么满足 $sup(A\cdot B)=sup(A)\cdot sup(B)$, 其中 $A\cdot B=\{a\cdot B:a\in A,b\in B\}$
4. 若 $A\subseteq B$ 那么 $sup(A)\le sup(B)$

定义 2.8 周围Umgebung

若 $x\in R$ 一个开区间 $(a,b)$ 是$x$ 的周围若 $x\in (a,b)$

定义 2.9 开

一个集合 $A\in \text{R}$ 是开的，若对于每个 $x\in A$ 存在一个 Umgebung $I_x$ ，使得 $I_x\subseteq A$.

定义 2.10 闭合

一个集合 $A\subseteq \text{R}$ 是闭合的，若 $\text{R}\setminus A$ 是开的

定理 2.11 $\text{R}$ 和 $\text{empty}$

若 $A$ 同时开和闭，那么$A=\text{empty}$ 或者 $A=\text{R}$

定理 1.9 archimedisch

$R$ 是 archimedisch 就是对于所有 $a\in R$ 存在 $n\in \text{N}$ ， $a<n$. $R$ 里不存在无穷大的数

定理 1.10 dicht

有理数在 $R$ 里是致密的. 也就是对于所有 $a,bR$ , $a<b$ 存在 $r\in \text{Q}$ 使得

$$a<r<b$$

Dezimaldarstellung

若 $a\in \text{R}$ , $a$ 的小数表示是这样的形式：

$$\pm d_0.d_1{d}_2{d}_3...$$

且 $d_0\in N_0,d_i\in \{0,1,...,9\}$ 对于所有 $i\in N$. 每个有限的小数都可以用有理数表示

$$\pm d_0.d_1{d}_2{d}_3...d_n=\pm \frac{p_n}{{10}^n}$$

其中 $p_n\in {\text{N}}_0$ 是数字 $d_0{d}_1...d_n$

定理: 平均分

$B\subset R$ 是可数的. 若人从 $[0,1]$ 里平均的选一个数, 那么它有 $1$ 的概率不再里面.

重要的不等式

向量空间 ${\text{R}}^n$

$${\mathbb{R}}^n:=\{(x_1,\dots ,x_n):x_1,\dots ,x_n\in {\mathbb{R}}^n\}$$

$$(x_1,\dots ,x_n)+(y_1,\dots ,y_n):=(x_1+y_1,\dots ,x_n+y_n)$$

$$\gamma \cdot (x_1,\dots ,x_n)=(\gamma \cdot x_1,\dots ,\gamma \cdot x_n)$$

$$(x_1,\dots ,x_n)\cdot (y_1,\dots ,y_n)=\sum _{k=1}^n{x}_k{y}_k$$

$$\Vert (x_1,\dots ,x_n)\Vert :=\sqrt{(x_1,\dots ,x_n)\cdot (x_1,\dots ,x_n)}=\sqrt{\sum _{k=1}^n{x}_k^2}$$

数量积的性质

1. $\mathrm{\forall }\overline{x},\overline{y}\in {\mathbb{R}}^n\overline{x}\cdot \overline{y}=\overline{y}\cdot \overline{x}$
2. $(\alpha \overline{x})\cdot \overline{y}=\overline{x}\cdot (\alpha \overline{y})=\alpha (\overline{x}\cdot \overline{y})$ 对于每个 $\alpha \in \text{R}$ 和 $\overline{x},\overline{y}\in {\text{R}}^n$ 成立
3. $\mathrm{\forall }\overline{x},\overline{z},\overline{y}\in {\mathbb{R}}^n(\overline{x}+\overline{y})\cdot \overline{z}=\overline{x}\cdot \overline{z}+\overline{y}\cdot \overline{z}$
4. ${\mathrm{\forall }}_{\overline{x}\in {\mathbb{R}}^n}\overline{x}\cdot \overline{x}\ge 0$ 取等号当 $\overline{x}=0$

定理: 三角不等式

对于所有 $x,y\in \text{R}$ 满足

$$|x+y|\le |x|+|y|$$

取等号当且仅当 $xy\ge 0$ . Allgemein

$$|\sum _{i=1}^n{x}_i|\le \sum _{i=1}^n|x_i|$$

取等号，当且仅当 $x_i$ 符号相同

定理 逆向三角不等式

$$|x+y|\ge ||x|-|y||$$

定理：多维空间的三角不等式

对于所有 $x,y\in {\text{R}}^n$

$$\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$$

定理: 柯西不等式

对于所有 $x,y\in {\text{R}}^n$

$$|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$$

Folgen

定义 3.1 数列

若 $M$ 是一个集合，一个值在 $M$ 中的数列是一个映射 ${\text{N}}^{+}\to M$ 或者 $\text{N}\to M$ 我们写作 $x_1,x_2,x_3...$ 或者 $x_0,x_1,x_2...$

定义3.2 单调递增

一个数列是单调递增的，若 $\mathrm{\forall }n{x}_n\le x_{n+1}$ , 一个数列是严格递增的，若 $\mathrm{\forall }n{x}_n<x_{n+1}$ . 单调递减类似定义

定义 3.3 极限

若 $(x_n{)}_{n\in \text{N}}$ 是一个实数数列，一个数 $x\in \text{R}$ 是它的极限，若对于任何 $ϵ>0$ 存在一个 $\text{N}$ 使得对于所有 $n\ge \text{N}$ ，$|x_n-x|<ϵ$ 成立，我们写作

$$x_n\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\to }x$$

或者 $x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n$

定理 3.4 极限唯一

每个数列 $(x_n)$ 最多有一个极限

定理 3.5 判断极限大小

$(x_n)$ 和 $(y_n)$ 是两个数列，$x_n\to x,y_n\to y$ 若 $\mathrm{\forall }n,x_n\le y_n,$ 那么 $x\le y$

定理 3.6 夹逼定理

若 $(x_n)$ , $(y_n)$ 是数列，$x_n\to x,y_n\to x$ . 若 $(w_n)$ 是数列，且 $\mathrm{\forall }n,x_n\le w_n\le y_n$ 那么 $w_n\to x$

定义 3.7 发散至无穷

我们说，$(x_n)$ geht gegen发散至 $+\text{infin}$ 若对于所有 $c>0$ 存在 $N\in \text{N}$ 使得 $x_n\ge c\mathrm{\forall }n\ge N$

$(x_n)$ 发散至 $-\text{infin}$ 若 $(-x_n)$ 发散至 $+\text{infin}$

定理 3.8 收敛有界

每个收敛的的数列是有界的

定理 3.9 极限的计算规则

若 $(x_n),(y_n)$ 是数列， $x_n\to a$ 并且 $y_n\to b$ 那么 $x_n+y_n\to a+b,x_n-y_n\to a-b,x_n\cdot y_n\to a\cdot b,\frac{x_n}{y_n}\to \frac{a}{b},(b\ne 0)$

定理3.10 判断收敛

每个单调递增且有上界的是收敛的。单调递减同理。

定义3.11 极限点 Häufungspunkt

若 $(x_n)$ 是实数数列，且 $n_1<n_2<n_3<...n_k\in \text{N}$ , 那么 $(x_{n_k})$ 是子序列. $x$ 是 Häufungspunkt 若存在一个子序列 $(x_{n_k})$ 使得 $\underset{n\to \text{infin}}{lim}{x}_{n_k}=x$

定理3.12 Bolzano-Weierstrass

给定一个收敛的实数数列 $(x_n)$. 那么supreior的极限是最大的极限点，inferior 的极限是最小的极限点

$$x_n\stackrel{n\to \mathrm{\infty }}{⟶}x\iff \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{x}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}{x}_n=x$$

每个有界的实数数列有一个收敛的子序列，所以至少有1个极限点

定理3.13 Cauchys Kriterium für Konvergenz

若 $(x_n{)}_n$ 是数列，那么它收敛，当且仅当对于所有的 $ϵ>0$ 存在 $N$ 使得对于所有 $m,n>N$

$$|x_n-x_m|<ϵ$$

解题实用结论

求递推数列的极限

$$\underset{n\to \text{infin}}{lim}{x}_n=\underset{n\to \text{infin}}{lim}{x}_{n+1}$$

伯努利不等式

对于所有 $n\in \mathbb{N},x\ge -1$

$$(1+x{)}^n\ge 1+nx$$

根式极限

$$\begin{gathered} \underset{n\to \text{infin}}{lim}\sqrt[n]{n}=1 \\ \underset{n\to \text{infin}}{lim}\sqrt[n]{x}=1 \end{gathered}$$

错位相减

$$\sum _{k=1}^n\frac{k-1}{k!}=\sum _{k=1}^n(\frac{1}{(k-1)!}-\frac{1}{k!})=\frac{1}{0!}-\frac{1}{n!}$$

放缩

$$(-1{)}^n\frac{n}{n+1}\le \frac{n}{n+1}<1$$

级数

定义 4.1 级数 Reihen

一个复数数列 $(a_n)$ ，我们定义 $s_n=a_0+\dots +a_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$ . 我们把它描述为无穷级数，也就是通项 Gliedern 是 $a_n$, 部分和 Partialsummenn $s_n$ 的数列.

若 $s_n$ 收敛 $s_{n}n\overrightarrow{\to }\mathrm{\infty }s$，那么这个级数收敛且极值为 $s$ 叫级数的和，或者级数的值。写作 $s=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{s}_n:=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$ 如果通项是实数且 $s_n$ 趋近无穷大，那么$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=+\mathrm{\infty }(bzw.\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k=-\mathrm{\infty })$

定理4.2 收敛的必要条件

若级数收敛，那么必须满足

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$$

定理 4.3 判断级数收敛

如果 $s_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$ 是一个实数级数且 $a_k\ge 0\mathrm{\forall }k\in {\mathbb{N}}_0$ 那么 $s_n$ 收敛当且仅当 $s_n$ 有界

比较审敛法

定义4.4 Majorante

若 $s_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$ 是一个值为的 $\mathbb{C}$级数. 级数 $\sum _{k=0}^n{b}_k($ mit $b_k\in \mathbb{R},\mathrm{\forall }k)$ $\left|a_k\right|\le b_k$ 是 $\sum _{k=0}^n{a}_k$ 的Majorante

定理 4.5 比较审敛法Majorantenkriterium

若 $s_n=\sum _{k=0}^n{a}_k$ 是一个值为 $\mathbb{C}$的级数 且有一个收敛的 Majorante$\sum _{k=0}^n{b}_k$ . 那么 $(s_n)$ 收敛且满足

$$\left|\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\right|\le \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\left|a_k\right|\le \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_k$$

定义 4.6 divergent

不收敛的级数是发散的 divergent

定理 4.7 判断级数收敛2

若 $\sum _{k=0}^n{a}_k$ 是值为 $\mathbb{C}$的级数. 级数收敛，若存在 $q\in \text{R}$ 满足 $q<1$ 且存在 $n_0\ge 0$ 使得

$${\mathrm{\forall }}_{k\ge n_0}\frac{\left|a_{k+1}\right|}{\left|a_k\right|}\le q$$

根式判敛法

设 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ 是要判断审玫性的级数, 令

$$C=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\bar{\lim }}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim sup}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}$$

• 若 $C<1$ 级数绝对收敛
• 若 $C>1$ 级数发散
• $C=1$ 级数可能收敛，可能发散

交错级数Alternierende Reihen

一个级数 $ {k=0}^{n} a{k} $ 是交错的 alternierend, 若通项会交替出现正负号. 写作 $a_0-a_1+a_2-a_3+a_4...$ 且 $a_0\ge 0$

定理 4.8 交错级数判别法Leibnitzkriterium

若 $(a_n{)}_{n\ge 0}$ 是在 $\text{R}$ 中递减的数列且 $a_n{⟶}_{n\to \mathrm{\infty }}0$ . 那么级数 $\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{a}_k$ 收敛, 且对于所有 $n\in \text{N}$ 满足

$$|\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{a}_k-S_n|=|\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k{a}_k-\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{a}_k|\le a_{n+1}$$

定义4.9 绝对收敛Absolute Konvergenz

$\sum _{k=0}^n{a}_k$ 是值为 $\mathbb{C}$的级数绝对收敛， 若$\sum _{k=0}^n|a_k|$ 收敛

定理 4.10 Umordnungssatz

级数$\sum _{k=0}^n{a}_k$ 绝对收敛，当且仅当对于每个关于 $\text{N}$ 的排列 $\sigma$ 重新排出的级数有相同的值

$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\sigma (k)}=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$$

定理 4.11 Doppelreihensatz

若$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\left|a_{k,j}\right|<\mathrm{\infty }$ ，则

$$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{k,j}=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{k,j}$$

例子4.12 指数函数

$$\exp (z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^k}{k!}$$

一个结论

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k!}$$

一个放缩,取第m+1项

对于任意 $m\in \text{N}$ 和 $x\ge 0$ 满足

$$\exp (x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}\ge \frac{x^{m+1}}{(m+1)!}$$

定理 4.13 指数函数的性质

• $\exp (-z)=\frac{1}{\exp (z)}\mathrm{\forall }z\in \mathbb{C}$
• $\exp (z)\ne 0\mathrm{\forall }z\in \mathbb{C}(0$ steht für (0.0)$\in \mathbb{C}$
• $\exp (x)>0\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}(\exp (x)=e^x\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R})$
• $\overline{\exp (z)}=\exp \overline{z}\mathrm{\forall }z\in \mathbb{C}$
• 实数指数函数是单调递增的，对于复数函数满足 $|\exp (z)|\le \exp (|z|)\mathrm{\forall }z\in \mathbb{C}$

柯西乘积

一般地, 对于实数和复数, 柯西乘积定义为如下的离散卷积形式

$$\begin{gathered} \left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n\right)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n \\ {c}_n=\sum _{k=0}^n{a}_k{b}_{n-k},n=0,1,2,\dots \end{gathered}$$

函数的极值和连续性

定义5.1 Isolierter Punkt

若 $D\subseteq \text{R}$ . 若 $x_0\in D$ , $x_0$ 是在 $D$ 中isoliert 若没有数列 $(a_n)$ 存在，使得 $lim{a}_n=x_0$ 且对于每个 $n$, $a_n\in D\setminus \{x_0\}$

定义5.2 函数的极值

若 $f$ 是实数值的函数，定义域是 $D\in \text{R}$ . 若 $x_0\in D$ ，$a$ 是 $f$ 在 $x_0$ 的极值，写作 $a=\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ , 若 $x_0$ 不是 isoliert 的，且每个收敛于 $x_0$ 的数列 $(a_n)$ ，$D\setminus \{x_0\}$ 满足 $\underset{x\to \text{infin}}{lim}f(a_n)=x_0$

定义 5.3 连续函数

一个实数函数 $f:D\to \text{R}$ 是在 $x_0\in D$ 处连续的函数，若 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$ 或者 $x_0$ 是 isoliert的.

$f$ 是在 $D$ 中连续，若对于 $\mathrm{\forall }x\in D$ , $f$ 在 $x$ 处连续

定理 5.4 另一个极值定义

若 $D\in \text{R}$ , 设 $f:D\to \text{R}$ 和 $x_0\in D$ 不是isoliert 的. $\underset{x\to x+0}{lim}f(x)=a$ 当且仅当对于每个 $ϵ>0$ 存在 $\delta >0$ 使得对于每个 $x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )\cap (D\setminus \{x_0\})$ 有 $|f(x)-a|<ϵ$

定理 5.5 连续性运算

若 $f,g$ 是实数函数，定义域为 $D$ 若 $f,g$ 在 $x\in D$ 上连续，那么 $f+g,f-g,f\cdot g$ 也在 $x$ 连续若 $g(x)\ne 0$

定理 5.6 指数函数在 $\mathbb{C}$ 上连续

定理5.7 连续函数复合

若$f:D_f\to R$ 和 $g:D_g\to \mathbb{R}$ 且 $f\left(D_f\right)\subseteq D_g(f(A)=\{f(x):x\in A\})$ 那么若$f$ 在 $x$ 上连续，$g$ 在 $f(x)$ 连续 那么$g\circ f:D_f\to \mathbb{R}$ 在 $x$ 上连续

定义 5.8 左极限

若 $f:D\to \text{R}$ .$f$ 有在点 $a\in D$ 的左极限 $c$, 也就是 $\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)=c$

若 $f(x_n)\to c$ 对于每个数列 $(x_n)\subseteq D,x_n<a,\mathrm{\forall }n\in \text{N}$ 有 $x\to c$

$f$ 在 $a$ 点左连续 ，若 $\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)=c$

复数和三角函数

定义6.1 三角函数

$$\begin{gathered} \sin x:=\frac{\exp (ix)-\exp (-ix)}{2i}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ \cos x:=\frac{\exp (ix)+\exp (-ix)}{2}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!} \end{gathered}$$

定理 6.2 三角函数是周期的

定理：欧拉公式

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

定理 6.3

若 $f,g:D\to \text{R}$ , $D\subseteq {\mathbb{R}}^d,a\in D$

连续性的结论

微分

定义8.1 f(x)=O(g(x))

$f,g$ 是在复数域的函数 $a\in \text{R}$ 或者 $a=\text{infin}$ 或者 $a=-\text{infin}$ 我们定义 $f(x)=O(g(x))$ 对于 $x\to a$ ，若存在常数 $c>0$ 使得对于每个数列 $(x_n)$ $x_n\to a$ 满足

$$\left|f\left(x_n\right)\right|\le c\cdot \left|g\left(x_n\right)\right|$$

对于所有$n$ 成立

$f(x)=o(g(x))$ 若 $\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=0$

定义8.3 Innerer Punkt

$x_0\in D\subseteq \mathbb{R}$ 是 $D$ 的内部点Innerer Punkt 若存在 $ϵ>0$ 使得 $(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )\subseteq D$

$D$ 是开区间offen, 若对于所有的点都是内部点

定义8.4 differenzierbar

函数 $f:D\to \text{R}$ 在定义域内的内部点 $x_0$ 可微分，若一个数 $f^{\prime }(x_0)$ 存在，使得 $f(x)=f\left(x_0\right)+f^{\prime }\left(x_0\right)(x-x_0)+o(x-x_0)$ 对于 $x\to x_0$ ，也就是说

$$f^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}$$

存在

定义8.5 可微分

函数在 $D$ 内可微分，若对于任意点都可微分

定理8.8 可微分性可以推出连续性

定义8.10 左右导数

左导数

$$f_{+}^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{h\to 0}{h>0}}{lim}\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}$$

右导数

$$f_{-}^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{h\to 0}{h<0}}{lim}\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}$$

导数运算法则

$$(f\cdot g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$$

$${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}$$

$$(g\circ f{)}^{\prime }(x)=g^{\prime }\left(f\left(x_0\right)\right)f^{\prime }\left(x_0\right)$$

$${\left(f^{-1}\right)}^{\prime }(x)=\frac{1}{f^{\prime }\left(f^{-1}x\right))}$$

定义8.27

导数的应用

定义 9.1 函数的最值

$I=[a,b]$ 设 $f:I\to \text{R}$ 在 $I$ 上的最大值和最小值为全局最值 globale Extrema. $f$ 有局部最大值lokales Maximum 若存在开区间 $U\left(x_0\right)=(x_0-\epsilon ,x_0+\epsilon )$ 使得 $f(x)\le f\left(x_0\right)\mathrm{\forall }x\in U\left(x_0\right)\cap I$

若 $f(x)<f\left(x_0\right)\mathrm{\forall }x\in U\left(x_0\right)\cap I,x\ne x_0$ 那么就是严格局部最大值 strikte lokale Maximum

最小值类似定义

定理 9.2 可微分有局部最值

函数 $f:[a,b]\to \text{R}$ 是在点 $x_0\in (a,,b)$ 上可微分的，那么 $f$ 有在 $x_0$ 处的局部最值 $f^{\prime }(x_0)=0$

定理 9.6 Rolle定理

设 $f:[a,b]\to \text{R}$ 在 $[a,b]$ 上连续且在 $(a,b)$ 上可微分

若 $f(a)=f(b)$ 那么存在 $z\in (a,b)$ 使得 $f^{\prime }(z)=0$

定理 9.7 中值定理

$f,g:[a,b]\to \text{R}$ 是在 $[a,b]$ 连续且在 $(a,b)$ 可微分的 且满足 $g^{\prime }(x)\ne 0\mathrm{\forall }x\in (a,b)$

那么 $g(a)\ne g(b)$ 且存在 $z\in (a,b)$ 使得 $g^{\prime }(z)(f(b)-f(a))=f^{\prime }(z)(g(b)-g(a))$

特别地，若 $g(x)=x$ , 那么存在 $z\in (a,b)$ 使得 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(z)$

定理9.8 导数和单调性

设 $f:[a,b]\to \text{R}$ 在 $(a,b)$ 可微分

1. $f^{\prime }>0$ 严格单调递增
2. $f^{\prime }<0$ 严格单调递减
3. $f^{\prime }\ge 0$ 单调递增
4. $f^{\prime }\le 0$ 单调递减

定理 9.11

定理9.12

定义9.17 二次可微分

我们说 $f$ 是可以二次微分的，若 $f$ 可微分，且 $f^{\prime }$ 可微分. $f$ 是二次连续可微分，若 $f$ 二次可微分且 $f^{″}$ 连续

定理9.18 不等式

实数函数 $f:(a,b)\to \text{R}$ 在 $(a,b)$ 上有单调递增的导数，那么对于 $x_0,x_1\in (a,b),x_0\ne x_1$ 和所有 $\lambda \in (0,1)$ 满足

$$f((1-\lambda )x_0+\lambda x_1)\le (1-\lambda )f\left(x_0\right)+\lambda f\left(x_1\right)\mathrm{\forall }\lambda \in (0,1)$$

定义9.19 konvex 和 konkav

实数函数 $f:(a,b)\to \text{R}$ 是konvex，若满足上面那个不等式。

$f$ 是 konkav 若 $-f$ 是 konvex

定理9.20

结论9.21

Jensen’sche Ungleichung

求导公式

$$\begin{gathered} y=x^n,y^{\prime }=n{x}^{n-1} \\ y=\sin x,y^{\prime }=\cos x \\ y=\cos x,y^{\prime }=-\sin x \\ y=\tan x,y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x \\ y=\cot x,y^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-{\csc }^{2}x \\ y=\sec x,y^{\prime }=\sec x\cdot \tan x \\ y=\csc x,y^{\prime }=-\csc x\cdot \cot x \\ y=\ln |x|,y^{\prime }=\frac{1}{x} \\ y={\log }_{a}x,y^{\prime }=\frac{1}{x\ln a} \\ y=e^x,y^{\prime }=e^x \\ y=a^x,y^{\prime }=a^x\ln a(a>0,a\ne 1) \\ y=\arcsin x,y^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \\ y=\arctan x,y^{\prime }=\frac{1}{1+x^2} \\ y=\mathrm{arccot}x,y^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2} \\ (\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2} \end{gathered}$$

积分

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

若 $f:[a,b]\in \text{R}$ 连续，定义

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$$

那么$F(x)$ 在 $(a,b)$ 可微分，且$F^{\prime }(x)=f(x)$

用奇偶性求积分

例如：

$${\int }_{-2}^2\sin (x)e^{x^2}dx$$

部分积分法

$${\int }_a^{b}f(x)g^{\prime }(x)dx={f(x)g(x)|}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }(x)g(x)dx$$

换元法

$${\int }_a^{b}f(g(t))g^{\prime }(t)dt={\int }_{g(a)}^{g(b)}f(t)dt$$

直接换元

$$u=f(x),x=g(u),dx=g^{\prime }(u)du$$

三角函数代换

$${\int }_{-1}^1\sqrt{1-x^2}dx={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\sqrt{1-{\sin }^2(y)}\cos (y)dy={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^2(y)dy$$

原函数

$$\begin{gathered} \int \sin xdx=-\cos x \\ \int \cos xdx=\sin x \\ \int \ln (x)dx=x\ln (x)-x \end{gathered}$$