信号与系统

信号系统概念

信号的分类

确定信号：可以用函数描述的

连续信号：在$(-\infty, \infty)$ 时间内有定义
离散信号

可以写成 $f(k) = \{..., 0, 1,1.5,3,-2,0,...\}$

随机信号：不能用函数描述的，只能知道概率

周期信号和非周期信号

连续信号的周期

连续周期信号$f(t)$ ，周期是$T$，满足： \[ f(t)=f(t+ m T), \quad m = 0 , \pm 1 ,\pm 2, \dots \] 比如余弦信号 $\cos \omega t$ ，周期是 $T=2 \pi / \omega(s)$

若两个周期信号相加，判断$T_{1} / T_{2}$ 是有理数。如果是那就是。

离散信号周期

周期是$N$ : \[ f(k)=f(k+ m N), m = 0 ,\pm 1,\pm 2, \dots \]

能量与功率信号

能量等于损失功率的积分，可以想象成是一个1欧姆的电阻的电功率

将信号 $f(t)$ 施加于$1 \Omega$ 的电阻上，它所消耗的瞬时功率为 $|f(t)|^{2}$,于是能量定义为： \[ E=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2} d t \] 平均功率： \[ P=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}|f(t)|^{2} d t \] 能量有限信号：$E < \infty$ ，此时 $P=0$

功率有限信号：$P < \infty$ ，此时 $E = 0$

对于离散信号也有能量信号和功率信号： \[ E=\sum_{k=-\infty}^{\infty}|f(k)|^{2}<\infty \\ P=\lim _{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{k=-N / 2}^{N / 2}|f(k)|^{2}<\infty \]

因果和反因果信号

因果信号：$t<0,f(t)=0$ 的信号$f(t)$ ,也就是$t=0$时接入的信号

反因果信号：$t \geq 0, \quad f(t)=0$ (除0信号外)

基本信号

阶跃函数

选的一个函数序列$\gamma_{ n }(t)$ ,求极限

\[ \varepsilon(t)=\lim _{n \rightarrow \infty} \gamma_{n}(t)=\left\{\begin{array}{ll} 0, & t<0 \\ 1, & t>0 \end{array}\right. \]

它可以用来叠加表示其他信号，比如$f(t)=2 \varepsilon(t)-3 \varepsilon(t-1)+\varepsilon(t-2)$

可以表示信号作用的区间

积分

\[ \int_{-\infty}^{t} \varepsilon(\tau) d \tau=t \varepsilon(t) \]

冲激函数

单位冲激函数：是奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短的物理量的理想化模型.就是在0这个点冲上去的函数。

\[ \left\{\begin{array}{ll} \delta(t)=0, & t \neq 0 \\ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) d t=1 \end{array}\right. \] 理解: 高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲 \[ \delta(t)=\frac{ d \varepsilon(t)}{ d t} \quad \varepsilon(t)=\int_{-\infty}^{t} \delta(\tau) d \tau \] 作用：可以描述间断点的函数$f(t)=2 \varepsilon(t+1)-2 \varepsilon(t-1) \quad f^{\prime}(t)=2 \delta(t+1)-2 \delta(t-1)$

冲激函数的广义定义

广义函数

选择一类性能良好的函数$φ(t)$作为检验函数(相当于自变量)，一个广义函数$g(t)$对检验函数空间中的每个函数$φ(t)$赋予一个数值N的映射，记为： \[ N_{g}[\varphi(t)]=\int_{-\infty}^{\infty} g(t) \varphi(t) d t \] 就是广义函数和检验函数乘一下积分

冲激函数的广义函数定义

\[ \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \varphi(t) d t=\varphi(0) \]

意思就是能从检验函数$\varphi (t)$ 中筛选出 $\varphi (0)$ 的广义函数就是冲激函数。比如：

冲激函数的取样性质

积分区间要包含$t= 0$ \[ \begin{aligned} &f(t) \delta(t)=f(0) \delta(t)\\ &\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t) d t=f(0) \end{aligned} \] 变形一下得到：积分区间要包含$t= a$ \[ \begin{aligned} &f(t) \delta(t-a)=f(a) \delta(t-a)\\ &\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t-a) d t=f(a) \end{aligned} \]

冲激函数的导数

1. $δ’(t)$ （冲激偶）

\[ f(t) \delta^{\prime}(t)=f(0) \delta^{\prime}(t)-f^{\prime}(0) \delta(t) \]

广义函数定义式： \[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta^{\prime}(t) d t=-f^{\prime}(0) \]

2. n阶导数

\[ \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta^{(n)}(t) d t=(-1)^{n} f^{(n)}(0) \]

冲激函数的尺度变化

$ δ(at) $ 的定义 \[ \delta^{(n)}(a t)=\frac{1}{|a|} \frac{1}{a^{n}} \delta^{(n)}(t) \] 特例： \[ \delta(a t)=\frac{1}{|a|} \delta(t) \] 推广结论： \[ \delta\left(a t-t_{0}\right)=\delta\left[a\left(t-\frac{t_{0}}{a}\right)\right]=\frac{1}{|a|} \delta\left(t-\frac{t_{0}}{a}\right) \] 当$a = -1$ 时，$ ^{{(n)}(-t)=(-1)}{n} ^{(n)}(t) $

单位脉冲序列

\[ \delta( k )=\left\{\begin{array}{ll} 1 , & k = 0 \\ 0 , & k \neq 0 \end{array}\right. \]

取样性质 \[ \begin{aligned} &f(k) \delta(k)=f(0) \delta(k)\\ &f(k) \delta\left(k-k_{0}\right)=f\left(k_{0}\right) \delta\left(k-k_{0}\right)\\ &\sum_{i}^{\infty} f(k) \delta(k)=f(0) \end{aligned} \]

单位阶跃序列

\[ \varepsilon(k)=\left\{\begin{array}{ll} 1, & k \geq 0 \\ 0, & k<0 \end{array}\right. \]

$ ε(k)$与$δ(k)$的关系 \[ \begin{array}{c} \delta(k)=\varepsilon(k)-\varepsilon(k-1) \\ \varepsilon(k)=\sum_{i=-\infty}^{k} \delta(i) \end{array} \]

信号的运算

信号的加减乘运算：对于的时刻加减乘

信号的反转

系统

系统是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。

系统模型

系统模型时对实际系统的理想化。

它分为集中参数模型和分布参数模型。

线性系统

满足线性性质的系统

齐次性： $af_{1} \rightarrow ay_{1}$
可加性： $f_{1}+f_{2} \rightarrow y_{1} + y_{2}$
线性性： $af_{1}+bf_{2} \rightarrow ay_{1} + by_{2}$

\[ T \left[a f_{1} (\cdot) +b f_{2} (\cdot) \right]=a T \left[f_{1} (\cdot) \right]+b T \left[f_{2} (\cdot) \right] \]

这里 $T$ 指的是经过系统的变换

动态线性系统

响应不仅与激励{$f(\cdot)$}有关，而且与它过去的状态{$x(0)$}有关，也称记忆系统。

$T[输入，状态]$ ，$f$是输入，$y$是输出，$x$是状态

完全响应： $y(\cdot)=T[\{f(\cdot)\},\{x(0)\}]$ 零状态响应： $y_{zs}(\cdot)=T[\{f(\cdot)\},\{0\}]$ ，由输入产生的响应零输入响应: $y_{zi}(\cdot)=T[\{0\},\{x(0)\}]$，由状态产生的响应

判断条件

若一个动态系统满足三个性质，就是线性系统

可分解性：$y(\cdot) =y_{zs}(\cdot) +y_{zi}(\cdot)$
零状态线性：

$T \left[\left\{a f_{1}(t)+b f_{2}(t)\right\},\{0\}\right]=a T \left[\left\{f_{1} ( \cdot )\right\},\{ 0 \}\right]+b T \left[\left\{f_{2}, (\cdot)\right\},\{ 0 \}\right]$
零输入线性：

$T \left[\{0\},\left\{a x_{1}(0)+b x_{2}(0)\right\}\right]=a T\left[\{0\},\left\{x_{1}(0)\right\}\right]+b T\left[\{0\},\left\{x_{2}(0)\right\}\right]$

时变系统和时不变系统

时不变系统：系统输入延时多少少时间，其零状态响应也相应延迟多少时间。不随时间改变。

\[ T \left[\{0\}, f\left(t-t_{0}\right)\right]=y_{ zs }\left(t-t_{ d }\right) \] 判断方法：

若$f(\cdot)$ 前由系数，反转，伸缩变换，则是时变系统

我们主要讨论LTI系统(Linear Time-Invariant)，即线性时不变系统

微分特性： \[ 若 f(t) \rightarrow y_{ zs }(t), \quad \text { 则 } f^{\prime}(t) \rightarrow y_{ zs }^{\prime}(t) \] 积分特性： \[ 若 f(t) \rightarrow y_{ zs }(t), \quad \text { 则 } \int_{-\infty}^{t} f(x) d x \rightarrow \int_{-\infty}^{t} y_{z s}(x) d x \]

因果系统与非因果系统

因果系统是之零状态响应不会出现在激励之前的系统。

如下列系统均为因果系统： \[ y_{ zs }(t)=3 f(t-1) \quad y_{z s}(t)=\int_{-\infty}^{t} f(x) d x \] 下面是非因果:

$y_{ zs }(t)=2 f(t+1)$

连续系统的时域分析

比如RLC电路，可以看作是系统 \[ \left\{\begin{array}{l} L C \frac{d^{2} u_{C}}{d t^{2}}+R C \frac{d u_{C}}{d t}+u_{C}=u_{S} \\ u_{C}\left(0_{+}\right), u_{C}^{\prime}\left(0_{+}\right) \end{array}\right. \]

数学模型

可以把物理意义抽去，得到一般的方程 \[ a_{2} \frac{ d ^{2} y(t)}{d t^{2}}+a_{1} \frac{ d y(t)}{d t}+a_{0} y(t)=f(t) \] 可以用相同方程描述的就是相似系统

微分方程模拟框图

我们把上面的方程可以简化写成这个： \[ y^{\prime \prime}(t)+a_{1} y^{\prime}(t)+a_{0} y(t)=f(t) \] 我们可以通过加法器，数乘器，积分器来表示它

例如上面的方程可以画出：

微分方程的经典解法

\[ \begin{aligned} y ^{(n)}( t ) &+ a _{n-1} y ^{(n-1)}( t )+\ldots+ a _{1} y ^{(1)}(t)+ a _{0} V (t)\\ &= b _{m} f ^{(m)}(t)+ b _{m-1} f ^{(m-1)}(t)+\ldots+ b _{1} f ^{(1)}(t)+ b _{0} f (t) \end{aligned} \]

它的完全解是其次解加特解

其次解是，方程右边等于0的解： \[ y^{(n)}+a_{n-1} y^{(n-1)}+\ldots+a_{1} y^{(1)}(t)+a_{0} y(t)=0 \] 可以用特征根得到其次解的函数形式： \[ \lambda^{n}+a_{n-1} \lambda^{n-1}+\ldots+a_{0}=0 \]

特解是原方程中的任意一个解

系统的初始值

初始值是$n$阶系统在$t=0$时接入激励，其响应在$t=0_{+}$ 时刻的值，即 $y^{(j)}\left(0_{+}\right)(j=0,1,2 \ldots, n-1)$

初始状态是统在激励尚未接入的$t=0_{-}$时刻的响应值$y(j)(0_{-})$。它反映了系统的历史情况。

零输入/状态响应

零输入

$y(t)=y_{z i}(t)+y_{z s}(t)$ 可以分别采用经典发求解

$y_{z i}(t)$ 对应齐次微分方程，不存在跃变。 \[ y_{z^{(i)}}\left( 0 _{+}\right)=y_{z_{i^{\prime}}}\left( 0 _{-}\right)=y(j)\left( 0 _{-}\right) \]

零状态

\[ y_{z s}(0)\left(0_{-}\right)=0, \quad j=0,1,2, \ldots n-1 \]

先求解$y_{z i}(t)$ 再用全响应减去它得到零状态响应

响应的分类

固有响应和强迫响应其次解（和特征根有关）是固有响应，特解是强迫响应
暂态响应和稳态响应暂态响应是t趋近无穷大为0

冲激响应

由单位冲激函数 $δ (t)$ 产生的零状态响应, 记为$h(t)$ \[ \begin{array}{r} f(t)=\delta(t) \\ h\left(0_{-}\right)=h^{\prime}\left(0_{-}\right)=0 \end{array} \]

阶跃响应

由单位阶跃函数 $ε (t)$ 产生的零状态响应, 记为$g(t)$ \[ \begin{array}{c} f(t)=\varepsilon(t) \\ g\left(0_{-}\right)=g^{\prime}\left(0_{-}\right)=0 \end{array} \]

卷积公式

信号时域的分解

对于任意信号，我们构造一个相近的信号来逼近它

\[ \hat{f}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n \Delta) \Delta p(t-n \Delta) \\ \lim _{\Delta \rightarrow 0} \hat{f}(t)=f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \delta(t-\tau) d \tau \]

卷积公式

\[ y_{z s}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) h(t-\tau) d \tau \]

卷积积分 已知定义在区间$(–∞,∞)$上的两个函数$f_{1}(t)$和$f_{2}(t)$，则定义积分 \[ f(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{1}(\tau) f_{2}(t-\tau) d \tau \] 为函数$f_{1}(t)$和$f_{2}(t)$的卷积积分，简称卷积，记为 \[ f(t)=f_{1}(t)* f_{2}(t) \]

卷积性质

卷积满足乘法的交换律，分配律，结合律。 \[ \begin{aligned} &f_{1}(t)^{*} f_{2}(t)=f_{2}(t)^{*} f_{1}(t)\\ &f_{1}(t)^{*}\left[f_{2}(t)+f_{3}(t)\right]=f_{1}(t)^{*} f_{2}(t)+f_{1}(t)^{*} f_{3}(t)\\ &\left.\left[f_{1}(t)^{*} f_{2}(t)\right] * f_{3}(t)\right]=f_{1}(t)^{*}\left[f_{2}(t) * f_{3}(t)\right] \end{aligned} \]

复合系统的冲激响应

并联是相加，级联是卷积运算

奇异函数的卷积特性

$f(t)^{*} \delta(t)=\delta(t)^{*} f(t)=f(t)$ $f(t)^{*} \delta\left(t-t_{0}\right)=f\left(t-t_{0}\right)$
$f(t)^{*} \delta^{\prime}(t)=f^{\prime}(t)$

$f(t)^{*} \delta^{(n)}(t)=f^{(n)}(t)$
$f(t)^{*} \varepsilon(t)=\int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \varepsilon(t-\tau) d \tau=\int_{-\infty}^{t} f(\tau) d \tau$

卷积的微积分性质

卷积的导数，是其中一个的导数再卷积 \[ \frac{ d ^{n}}{ d t^{n}}\left[f_{1}(t)^{*} f_{2}(t)\right]=\frac{ d ^{n} f_{1}(t)}{ d t^{n}} * f_{2}(t)=f_{1}(t) * \frac{ d ^{n} f_{2}(t)}{ d t^{n}} \] 卷积的积分，是其中一个积分然后再卷积 \[ \int_{-\infty}^{t}\left[f_{1}(\tau) * f_{2}(\tau)\right] d \tau=\left[\int_{-\infty}^{t} f_{1}(\tau) d \tau\right] * f_{2}(t)=f_{1}(t) *\left[\int_{-\infty}^{t} f_{2}(\tau) d \tau\right] \] 下面一个最重要, 一个函数求导，一个函数积分：

在 $f_{1}(-\infty)=0$ 或 $f_{2}^{(-1)}(\infty)=0$ 前提下， \[ f_{1}(t)^{*} f_{2}(t)=f_{1}^{\prime}(t)^{*} f_{2}^{(-1)}(t) \]

信号与系统

信号系统概念

信号的分类

连续信号的周期

离散信号周期

能量与功率信号

因果和反因果信号

基本信号

阶跃函数

冲激函数

冲激函数的广义定义

广义函数

冲激函数的广义函数定义

冲激函数的取样性质

冲激函数的导数

1. \(δ’(t)\) （冲激偶）

2. n阶导数

冲激函数的尺度变化

单位脉冲序列

单位阶跃序列

信号的运算

信号的反转

系统

系统模型

线性系统

动态线性系统

判断条件

时变系统和时不变系统

因果系统与非因果系统

连续系统的时域分析

数学模型

微分方程模拟框图

微分方程的经典解法

系统的初始值

零输入/状态响应

零输入

零状态

响应的分类

冲激响应

阶跃响应

卷积公式

信号时域的分解

卷积公式

卷积性质

复合系统的冲激响应

奇异函数的卷积特性

卷积的微积分性质